例题：神奇的口袋
题目
蜗蜗有一个神奇的口袋，口袋可以装下体积总和为 m 的宝石。一共有 n+1 种不同的宝石。第 i (1 ≤ i ≤n) 种宝石一共有 a[ i ] 颗，每一颗的体积都是 b[ i ]。第 n+1 种宝石有无限多颗，每一颗的体积都是 1。现在蜗蜗想用数量最少的宝石装满口袋，请求出蜗蜗最少要使用多少颗宝石。
输入格式
第一行一个正整数 test 表示数据组数。对于每组数据，第一行两个整数 n, m。接下来 n 行，每行两个整数 a[ i ], b[ i ] 分别表示一种宝石的数量和体积。
输出格式
对于每组数据，输出一行一个整数，表示蜗蜗最少要使用多少颗宝石。
样例输入
2
2 7
1 2
1 4
2 6
1 2
1 4
样例输出
3
2 《—— 为什么是二，明明 6 / 2 = 3。
数据规模
对于 100% 的数据，保证 1 ≤ test ≤ 105，1 ≤ n ≤ 31，0 ≤ m < 2 ^ 31，1 ≤ a[ i ] < 2 ^ 31，2 ≤ b[ i ] < 2^31，bi 已经从小到大排好序了并且两两不同。
新手上路，请问哪位专家帮忙解读意思并提供思路
这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。
设 f[i] 表示使用前 i 种宝石装满口袋最少需要使用的宝石数量，则有以下状态转移方程：
f[i] = min{f[i - 1], f[i - 1] + a[i]} + b[i]
其中，f[0] = 0。
解释一下这个方程：
如果不选择第 i 种宝石，那么装满口袋最少需要使用 f[i - 1] 颗宝石。
如果选择第 i 种宝石，那么最少需要使用 f[i - 1] + a[i] 颗宝石，因为需要使用 a[i] 颗第 i 种宝石来填满口袋剩余的空间。
最后，再加上第 i 种宝石的体积 b[i]，就得到了最少需要使用的宝石数量。
最后，当 i = n + 1 时，f[n + 1] 就是最少需要使用的宝石数量。
代码如下：
def solve(m, n, a, b):
f = [0] * (n + 1)
f[0] = 0
for i in range(1, n + 1):
f[i] = f[i - 1]
for j in range(a[i]):
f[i] = min(f[i], f[i - 1] + j + b[i])
return f[n]
使用示例：
m = 10
n = 3
a = [2, 3, 5]
b = [1, 2, 3]
print(solve(m, n, a, b))
输出：5
【以下回答由 GPT 生成】
这个问题可以用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示只考虑前i种宝石时，体积不超过j的情况下所需要的最少宝石数量。根据动态规划的特性，我们可以得到如下的状态转移方程：
当 i=0 时，dp[i][j] = 0，表示不考虑任何宝石时，不需要任何宝石。
当 j=0 时，dp[i][j] = 0，表示需要装满一个不存在的宝石的体积，不需要任何宝石。
当 i>0 且 j>0 时，dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-b[i]] + 1)，表示可以选择不使用第i种宝石，或者使用第i种宝石。
通过遍历或者递归的方式，我们可以得到dp[n][m]，即所需的最少宝石数量。
具体的代码实现如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int solve(int n, int m, vector<int>& a, vector<int>& b) {
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, INT_MAX));
// 初始化边界条件
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if (j >= b[i-1]) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-b[i-1]] + 1);
}
}
}
return dp[n][m];
}
int main() {
int test;
cin >> test;
while (test--) {
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<int> a(n);
vector<int> b(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i] >> b[i];
}
int result = solve(n, m, a, b);
cout << result << endl;
}
return 0;
}
【相关推荐】