数值计算方法拟合问题

像这种非线性拟合用正则法该如何实现呢，正则化方法确定拟合曲线

TechWhizKid参考GPT回答：

用正则化方法来缓解这个问题。

先设置一个正则化参数λ，用MATLAB的优化工具箱来解决这个问题。用 fminunc 或 fmincon 函数来找到最小化代价函数的参数。将选择 fmincon ，因为它允许为参数设置约束条件，这在某些情况下可能是有用的。

用MATLAB进行这个拟合的代码：

% 数据初始化
i = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
xi = [0.1, 0.3, 0.5, 0.6, 0.7, 0.9];
yi = [0.61, 0.92, 1.12, 1.52, 1.47, 2.04];

% 初始猜测值
a0 = [1, 1, 1, 1];

% 定义正则化参数
lambda = 0.01;

% 定义代价函数，加入lambda作为参数
cost_function = @(a, lambda)sum((yi - (a(1) + a(2)*xi + a(3)*sin(xi) + a(4)*exp(xi))).^2) + lambda*sum(a.^2);

% 使用fmincon进行拟合
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
a = fmincon(@(a)cost_function(a, lambda), a0, [], [], [], [], [], [], [], options);

% 输出结果
disp(a);

% 画出原始数据点
figure;
plot(xi, yi, 'o');

% 持有当前图像，以便在同一图像上添加拟合曲线
hold on;

% 画出拟合曲线
x = linspace(0, 1, 100); % 创建x值的向量，用于画拟合曲线
y = a(1) + a(2)*x + a(3)*sin(x) + a(4)*exp(x); % 计算对应的y值
plot(x, y, 'r-');

% 添加图例和标题
legend('原始数据', '拟合曲线');
title('数据拟合结果');

% 结束持有状态
hold off;

参考代码：

import numpy as np  
from scipy.optimize import minimize  
  
# 定义损失函数  
def loss_function(y_true, y_pred):  
    return np.mean((y_true - y_pred) ** 2)  
  
# 定义正则化项  
def regularization(w):  
    return np.sum(np.abs(w))  
  
# 定义目标函数  
def objective_function(w, x, y):  
    y_pred = np.dot(x, w)  # 计算拟合值  
    return loss_function(y, y_pred) + lambda_ * regularization(w)  # 添加正则化项  
  
# 定义梯度下降法求解函数  
def gradient_descent(x, y, num_iters, lambda_):  
    # 初始化参数  
    num_features = x.shape[1]  
    w0 = np.zeros(num_features)  # 初始参数向量  
    tol = 1e-4  # 容差  
    max_iter = 1000  # 最大迭代次数  
  
    # 迭代优化  
    for i in range(num_iters):  
        # 计算目标函数的梯度  
        grad = np.dot(x.T, np.dot(x, w0) - y)  
        # 更新参数  
        w0 -= tol * grad  
        # 判断是否达到收敛条件  
        if np.sum(np.abs(grad)) < tol:  
            break  
        # 判断是否达到最大迭代次数  
        if i == max_iter - 1:  
            print("Maximum iteration count exceeded")  
            break  
  
    return w0  
  
# 生成样本数据（这里使用简单的线性模型作为示例）  
np.random.seed(0)  
num_samples = 100  
num_features = 1  
x = np.random.randn(num_samples, num_features)  
y = 2 * x + np.random.randn(num_samples)  
  
# 设置正则化参数lambda_并求解目标函数最小值  
lambda_ = 0.1  
w0 = gradient_descent(x, y, num_iters=100, lambda_=lambda_)  
  
# 输出拟合结果  
y_pred = np.dot(x, w0)  
print("Fitted parameters:", w0)  
print("Means of fitted and true values:", np.mean(y_pred), np.mean(y))

#如有帮助，恭请采纳

同的，逻辑回归需要通过sigmoid函数将线性回归的结果转换为概率值。

回答：

对于非线性拟合，在使用正则化方法时，可以对模型的系数进行惩罚，防止过度拟合。具体来说，可以通过在代价函数中加入正则化项来惩罚模型的复杂度，从而限制模型的参数，避免过拟合的出现。在正则化参数λ的作用下，模型系数的大小会受到限制，从而避免过度拟合现象的出现。

以多项式拟合为例，在多项式拟合中，如果使用高次多项式对数据进行拟合，很容易出现过度拟合现象。我们可以在代价函数中加入一个正则化项，对模型的复杂度进行惩罚。则代价函数变为：

J(θ) = (1/2m) * ∑(h(x(i)) - y(i))^2 + (λ/2m) * ∑θ(j)^2

其中，第二个正则化项即为惩罚项，λ为正则化参数，惩罚项用来限制模型系数的大小。当λ越大时，惩罚项对代价函数的影响就越大，可以减少模型的复杂度。

在使用正则化方法时，需要注意正则化参数的选择。如果正则化参数选的太大，会导致模型出现欠拟合，而选的太小，则会导致模型过度拟合。因此需要进行一些实验和调整，找到合适的正则化参数。

具体实现方法可以参照上面的参考资料，在代价函数中加入正则化项，并在优化算法（如梯度下降、正规方程等）中对其进行考虑。代码实现会依据具体情况有所不同，这里不再赘述。