证明二重积分换元法公式中dxdy=｜J｜dudv中存在的疑惑

这篇文章最后说微元变换实际可以看做是线性的，但我们要求的结果本质上是微分的级数呀
存在x=g(u,v),y=h(u,v)，则kdudv（0≤k＜1的常数)的级数和dudv的级数是否相等（这里的k相当于叉乘的模中的正弦值）
如果存在x=g(u,v),y=h(u,v)，那么按照偏导数的定义，我们可以得到：
kdudv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v)du dv
又因为：
dudv = (∂u/∂x)(∂v/∂y)dy dx
代入x=g(u,v),y=h(u,v)，我们有：
dudv = (∂u/∂g)(∂v/∂h)dxdy
根据链式法则，我们有：
∂u/∂g = (∂g/∂u)^(-1)
∂v/∂h = (∂h/∂v)^(-1)
将其代入dudv中，可以得到：
dudv = (∂h/∂v)(∂g/∂u) dxdy
将上述表达式代入kdudv中，有：
kdudv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v) du dv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v) (∂h/∂v)(∂g/∂u) dxdy
可以看到，kdudv是dxdy的系数的k倍，因此它们的级数是不相等的。
所以明显不能看成线性的，如果是线性变换的话，向量dx和dy之间的夹角为90度，那么向量du和dv之间的夹角也可以看成90度，但明显看成90度之后向量du和dv叉乘结果的模变化了
这个问题咋解释

雅可比矩阵的所有元素你都可以认为是偏导数，kdudv和dxdy之间的线性关系我们用雅可比来表示，你仔细想想偏导定义在哪里？坐标如果变了，级数还会相等吗

可以借鉴下
https://blog.csdn.net/HGGshiwo/article/details/106239006

更加GPT部分回答，引用：
对于微元变换的问题，我们常用的是雅可比矩阵来描述微元映射的变换。
假设在一个变换过程中，输入为 (u,v)，输出为 (x,y)。那么，关于微元变换，我们可以将其看作是通过微元(u+du,v+dv)在输入空间上取得一点，将该点经过微元映射后得到输出点 (x+dx,y+dy)。
而在微元变换时，微元映射时的比例缩放率，即微元变换的局部扭曲率，可以通过雅可比矩阵来描述。
如果一个微元映射的雅可比矩阵行列式为正，那么可以说该变换是保持面积不变的正变换，反之则是保持面积不变的反变换。
因此，我们将微元的比例因子（局部扭曲率）记作kdudv，其中k为常数，我们称之为微元映射的缩放比例因子。
另外，在微元变换的过程中，我们会发现输入空间中的微元du dv和输出空间中的微元dx dy是具有一定关系的，即：dxdy = |J|dudv，其中，|J|表示雅可比矩阵的行列式。
回到题目中提到的问题，当存在x=g(u,v),y=h(u,v)时，我们需要求出kdudv的级数和dudv的级数是否相等。根据上述公式，我们可以得到kdudv和dxdy之间的关系：kdudv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v)dudv，而dxdy = |J|dudv，其中，|J| = (∂g/∂u)(∂h/∂v) - (∂g/∂v)(∂h/∂u)。所以，我们可以将上述公式带入dxdy的级数中：dxdy = (∂h/∂v)(∂g/∂u)kdudv。
可以看出，左右两边都只有一阶项，因此它们的级数是相等的。即，微元变换实际上可以看作是线性的，因为局部扭曲率（比例因子）是常数k，而不是变化的高阶项组成的级数。