Matlab最小二乘法推导

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单输入单输出情况的推导
首先，我们将系统的状态方程和输出方程写出来：

状态方程：
x(k) = Ax(k-1) + Bu(k-1) + w(k)

输出方程：
y(k) = Cx(k) + v(k)

其中，x(k) 是系统的状态向量，u(k) 是系统的输入向量，y(k) 是系统的输出向量，w(k) 和 v(k) 分别是系统的过程噪声和测量噪声，A、B 和 C 分别是系统的状态转移矩阵、输入矩阵和输出矩阵。根据最小二乘法的原理，我们需要找到一个估计向量，使得估计向量与实际输出向量之间的误差平方和最小，即：

min E = ||y - Xθ||^2

其中，X 是状态向量矩阵，θ 是待求解的系数向量，y 是实际输出向量。将状态方程代入到输出方程中，得到：

y(k) = CX(k) + v(k) = C(Ax(k-1) + Bu(k-1)+ w(k)) + v(k)

展开后得到：

y(k) = CAx(k-1) + CBu(k-1) + Cv(k) + w(k)

我们可以将 y(k)、u(k) 和 u(k-1) 放到一个矩阵中，分别记为：

Y = [y(1), y(2), ..., y(N)]^T
U = [u(2), u(3), ..., u(N)]^T
U0 = [u(1), u(2), ..., u(N-1)]^T

类似地，我们可以将 x(k)、u(k-1) 和 w(k) 放到一个矩阵中，分别记为：

X = [x(2), x(3), ..., x(N)]^T
U0 = [u(1), u(2), ..., u(N-1)]^T
W = [w(2), w(3), ..., w(N)]^T

然后，将输出方程表示成矩阵形式：

Y = CX + V

其中，V 是测量噪声矩阵，其元素为 v(k)。

根据状态方程，我们可以将 X 表示为：

X = AX0 + BU0 + W

将 X 代入到输出方程中，得到：

Y = C(AX0 + BU0 + W) + V = CAX0 + CBU0 + CW + V

我们将 Y 和 X 的表达式代入到最小二乘法的目标函数中：

E = ||Y - Xθ||^2 = ||CAx(k-1) + CBu(k-1) + Cv(k) + w(k) - CAX0 - CBU0 - CW||^2

将 E 展开，可以得到：

E = (CAx(k-1) + CBu(k-1) - CAX0 - CBU0)^T (CAx(k-1) + CBu(k-1) - CAX0 - CBU0) + ||Cv(k) + w(k) - CW||^2

为了使 E 最小，我们需要对 θ 求解偏导数，并令其为 0，即：

∂E/∂θ = 2X^T(Y - Xθ) = 0

解得：

θ = (X^TX)^(-1)X^TY

其中，^T 表示矩阵的转置，^(-1) 表示矩阵的逆矩阵。将 X 和 Y 的值代入到上式中，即可求解出系数向量 θ，然后就可以根据估计向量来预测系统的输出值了。

两输入两输出情况的推导，并进行 Matlab 仿真以及完成仿真报告。
对于两输入两输出的情况，我们需要对上述推导过程进行扩展。假设系统的输入向量为 u1(k) 和 u2(k)，输出向量为 y1(k) 和 y2(k)，则系统的状态方程和输出方程分别为：

状态方程：
x(k) = Ax(k-1) + B1u1(k-1) + B2u2(k-1) + w(k)

输出方程：
y1(k) = C1x(k) + v1(k)
y2(k) = C2x(k) + v2(k)

其中，x(k) 是系统的状态向量，u1(k) 和 u2(k) 分别是系统的两个输入向量，y1(k) 和 y2(k) 分别是系统的两个输出向量，w(k)、v1(k) 和 v2(k) 分别是系统的过程噪声和测量噪声，A、B1、B2、C1 和C2 分别是系统的状态转移矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

我们可以将系统的输入和输出向量放到矩阵中，分别记为：

U1 = [u1(2), u1(3), ..., u1(N)]^T
U2 = [u2(2), u2(3), ..., u2(N)]^T
Y1 = [y1(1), y1(2), ..., y1(N)]^T
Y2 = [y2(1), y2(2), ..., y2(N)]^T

类似地，我们可以将系统的状态向量和过程噪声放到矩阵中，分别记为：

X = [x(2), x(3), ..., x(N)]^T
W = [w(2), w(3), ..., w(N)]^T

然后，我们可以将系统的状态方程和输出方程表示成矩阵形式：

X = AX0 + B1U1 + B2U2 + W
Y1 = C1X + V1
Y2 = C2X + V2

其中，V1 和 V2 分别是 y1(k) 和 y2(k) 的测量噪声矩阵，其元素分别为 v1(k) 和 v2(k)。

我们需要找到一组系数向量 θ1 和 θ2，使得估计向量与实际输出向量之间的误差平方和最小，即：

min E = ||[Y1; Y2] - [X, X] [θ1; θ2]||^2

将状态方程和输出方程代入到上式中，得到：

min E = ||[C1AX0 + C1B1U1 + C1B2U2 + V1; C2AX0 + C2B1U1 + C2B2U2 + V2] - [X, X] [θ1; θ2]||^2

将上式展开，可以得到：

min E = ||C1AX0 + C1B1U1 + C1B2U2 + V1 - Xθ1 - Xθ2 ||^2 + ||C2AX0 + C2B1U1 + C2B2U2 + V2 - Xθ1 - Xθ2 ||^2

为了求解 θ1 和 θ2，我们需要对 E 求偏导数，并令其为 0，即：

∂E/∂θ1 = -2X^T[C1AX0 + C1B1U1 + C1B2U2 + V1 - Xθ1 - Xθ2] = 0
∂E/∂θ2 = -2X^T[C2AX0 + C2B1U1 + C2B2U2 + V2 - Xθ1 - Xθ2] = 0

解得：

θ1 = (X^TX)^(-1)X^T[C1AX0 + C1B1U1 + C1B2U2 + V1 + C2AX0 + C2B1U1 + C2B2U2 + V2]
θ2 = (X^TX)^(-1)X^T[C1AX0 + C1B1U1 + C1B2U2 + V1 + C2AX0 + C2B1U1 + C2B2U2 + V2]

同样地，将 U1、U2、Y1 和 Y2 的值代入到上式中，即可求解出系数向量 θ

对于MMO系统的最小二乘辨识方法，我们需要根据系统的输入和输出数据进行参数的估计。下面将分别介绍单输入单输出情况和两输入两输出情况的推导过程。

单输入单输出情况的推导：
假设单输入单输出的MMO系统的传递函数为：

 G(s) = (b0*s^n + b1*s^(n-1) + ... + bn-1*s + bn) / (s^m + a1*s^(m-1) + ... + am-1*s + am)

其中，n为输出阶数，m为输入阶数。

为了进行最小二乘辨识，我们需要采集到系统的输入输出数据。假设采集到的输入数据为u(t)，输出数据为y(t)，则有：

    y(t) = b0*u(t)^n + b1*u(t)^(n-1) + ... + bn-1*u(t) + bn + e(t)

其中，e(t)为系统的噪声项。

将采集到的数据整理成矩阵形式：

    Y = X*θ + E

其中，Y为输出数据矩阵，X为输入数据矩阵，θ为参数向量，E为噪声项矩阵。

根据最小二乘辨识的原理，我们需要求解参数向量θ的估计值。参数向量θ的估计值可以通过以下公式计算：

    θ_hat = (X^T*X)^(-1) * X^T * Y

其中，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆。
2.两输入两输出情况的推导：
对于两输入两输出的情况，假设系统的传递函数为：

 G11(s) = (b0*s^n + b1*s^(n-1) + ... + bn-1*s + bn) / (s^m + a1*s^(m-1) + ... + am-1*s + am)
 G12(s) = (c0*s^n + c1*s^(n-1) + ... + cn-1*s + cn) / (s^m + a1*s^(m-1) + ... + am-1*s + am)
 G21(s) = (d0*s^n + d1*s^(n-1) + ... + dn-1*s + dn) / (s^m + a1*s^(m-1) + ... + am-1*s + am)
 G22(s) = (e0*s^n + e1*s^(n-1) + ... + en-1*s + en) / (s^m + a1*s^(m-1) + ... + am-1*s + am)

为了进行最小二乘辨识，我们需要采集到系统的两个输入和两个输出的数据。假设采集到的输入数据为u1(t)和u2(t)，输出数据为y1(t)和y2(t)，则有：

    y1(t) = b0*u1(t)^n + b1*u1(t)^(n-1) + ... + bn-1*u1(t) + bn + e1(t)
    y2(t) = c0*u1(t)^n + c1*u1(t)^(n-1) + ... + cn-1*u1(t) + cn + e2(t)

其中，e1(t)和e2(t)为系统的噪声项。

将采集到的数据整理成矩阵形式：

    Y = X*θ + E

其中，Y为输出数据矩阵，X为输入数据矩阵，θ为参数向量，E为噪声项矩阵。

对于两输入两输出的情况，输入数据矩阵X的形式为：

    X = [u1(t)^n, u1(t)^(n-1), ..., u1(t), 1, 0, ..., 0;         0, u1(t)^n, u1(t)^(n-1), ..., u1(t), 1, ..., 0;         ...,         u2(t)^n, u2(t)^(n-1), ..., u2(t), 0, ..., 1;         0, u2(t)^n, u2(t)^(n-1), ..., u2(t), 0, ..., 1]

其中，每一行对应一个输出项，每一列对应一个参数。

类似地，输出数据矩阵Y的形式为：

    Y = [y1(t);         y2(t)]

其中，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆。

完成以上推导后，可以使用MATLAB进行仿真实验。根据实际情况，准备好输入输出数据并整理成矩阵形式，然后使用上述公式计算参数向量θ的估计值。最后，根据估计的参数值构建系统模型，与实际输出进行对比分析。

1. 单输入单输出情况的推导

假设有以下一阶线性时不变系统：

$$y(t)=a\cdot x(t)+b\cdot y(t-\Delta t)$$

其中，$x(t)$为系统的输入信号，$y(t)$为系统的输出信号，$a$和$b$为系统的参数，$\Delta t$为系统的延迟时间。

将系统的状态转移方程写成Z变换形式：

$$Y(z)=a\cdot X(z)+b\cdot z^{-\Delta t}\cdot Y(z)$$

整理后，可以得到系统的传递函数：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{a}{1-b\cdot z^{-\Delta t}}$$

通过这个传递函数可以计算系统在频域上的响应。可以使用Matlab等工具对系统进行仿真分析，例如绘制频率响应曲线和阶跃响应曲线等。

2. 两输入两输出情况的推导，并进行matlab仿真以及完成仿真报告

假设有以下两个一阶线性时不变系统，每个系统都有一个输入信号和一个输出信号：

$$\begin{aligned}y_{1}(t) &= a_{1} \cdot x_{1}(t) + b_{11} \cdot y_{1}(t-\Delta t_{11}) + b_{12} \cdot y_{2}(t-\Delta t_{12}) \ y_{2}(t) &= a_{2} \cdot x_{2}(t) + b_{21} \cdot y_{1}(t-\Delta t_{21}) + b_{22} \cdot y_{2}(t-\Delta t_{22})\end{aligned}$$

其中，$x_{1}(t)$和$x_{2}(t)$为系统的输入信号，$y_{1}(t)$和$y_{2}(t)$为系统的输出信号，$a_{1}$、$a_{2}$、$b_{11}$、$b_{12}$等为系统的参数，$\Delta t_{11}$、$\Delta t_{12}$、$\Delta t_{21}$、$\Delta t_{22}$为系统的延迟时间。

类似于单输入单输出的情况，将系统的状态转移方程写成Z变换形式：

$$\begin{aligned}Y_{1}(z) &= a_{1} \cdot X_{1}(z) + b_{11} \cdot z^{-\Delta t_{11}} \cdot Y_{1}(z) + b_{12} \cdot z^{-\Delta t_{12}} \cdot Y_{2}(z) \ Y_{2}(z) &= a_{2} \cdot X_{2}(z) + b_{21} \cdot z^{-\Delta t_{21}} \cdot Y_{1}(z) + b_{22} \cdot z^{-\Delta t_{22}} \cdot Y_{2}(z)\end{aligned}$$

整理后，可以得到系统的传递函数：

$$\begin{aligned}H_{11}(z) &= \frac{Y_{1}(z)}{X_{1}(z)} = \frac{ a_{1} }{ 1-b_{11} \cdot z^{-\Delta t_{11}}-b_{12} \cdot z^{-\Delta t_{12}}\cdot H_{21}(z) } \ H_{12}(z) &= \frac{Y_{1}(z)}{X_{2}(z)} = \frac{ b_{12} }{ 1-b_{21} \cdot z^{-\Delta t_{21}}-b_{22} \cdot z^{-\Delta t_{22}}\cdot H_{12}(z) } \ H_{21}(z) &= \frac{Y_{2}(z)}{X_{1}(z)} = \frac{ b_{21} }{ 1-b_{11} \cdot z^{-\Delta t_{11}}-b_{12} \cdot z^{-\Delta t_{12}}\cdot H_{22}(z) } \ H_{22}(z) &= \frac{Y_{2}(z)}{X_{2}(z)} = \frac{ a_{2} }{ 1-b_{21} \cdot z^{-\Delta t_{21}}-b_{22} \cdot z^{-\Delta t_{22}}\cdot H_{21

% 最小二乘法目的是得到一条最好的拟合直线

% d*a+e*b = u
% p*a+q*b = v
% 其中p == d

n = 6;
x = zeros(1,n);
y = zeros(1,n);
%x(1,1:n/2) = round(rand(1,n/2)*50);
%y(1,1:n/2) = round(rand(1,n/2)*50);

%x(1,(n/2+1):n) = round(rand(1,n/2)*50+50);
%y(1,(n/2+1):n) = round(rand(1,n/2)*50+50);

%x = round(rand(1,n)*100);
%y = round(rand(1,n)*100);

x = [1.3 1.9 3.2 4.1 5.2 6.3];
y = [2.3 4.1 6.3 8.2 10.3 11.8];
%x = 1:100;
%y(:) = 50+2*x;
plot(x,y,'g*')

d = 0; e = 0; u = 0; p = 0; q = 0; v = 0;
for i = 1:n
    d = d + 2*x(i)*x(i);
    e = e + 2*x(i);
    u = u + 2*x(i)*y(i);
    v = v + 2*y(i);
end
p = e;
q = 2*n;

% 利用克拉默法则来解方程组
D = det([d e; p q]);
a = det([u e; v q])/D;
b = det([d u; p v])/D;

% 绘制出最好的拟合直线
t = min(x):0.1:max(x);
g = a*t+b;
hold on
plot(t,g,'r')
hold off

下面是代码示例，可以参考一下

% 读入数据
data = load('data.mat');
X = [data.X1, data.X2];
Y = [data.Y1, data.Y2];

% 构建矩阵
A = [X ones(size(X, 1), 1)];

% 计算最小二乘解
a = (A' * A) \ (A' * Y);

% 输出求解结果
disp('最小二乘解：');
disp(a);

% 绘制原始数据和拟合模型
y_fit = A * a;
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(data.X1, data.Y1, 'bo', data.X1, y_fit(:, 1), 'r-');
xlabel('X1');
ylabel('Y1');
legend('原始数据', '拟合模型');
subplot(2, 1, 2);
plot(data.X2, data.Y2, 'bo', data.X2, y_fit(:, 2), 'r-');
xlabel('X2');
ylabel('Y2');
legend('原始数据', '拟合模型');

我可以为您提供一些关于最小二乘法的基本知识和如何在Matlab中进行最小二乘法的推导和仿真的建议。

首先，最小二乘法是一种常见的拟合方法，用于建立观测值和独立变量之间的线性关系。它的基本思想是通过最小化残差平方和来拟合数据。在单输入单输出情况下，可以使用以下公式进行最小二乘法拟合：

y = a*x + b

其中，a和b是待求的回归系数，可通过以下公式计算：

a = (n*sum(x.*y) - sum(x)*sum(y)) / (n*sum(x.^2) - (sum(x))^2)
b = (sum(y) - a*sum(x)) / n

其中，n是数据点的数量。

对于两个输入和两个输出的情况，可以使用以下公式进行最小二乘法拟合：

y1 = a11*x1 + a12*x2 + b1
y2 = a21*x1 + a22*x2 + b2

其中，a11、a12、a21、a22和b1、b2是待求的回归系数，可通过以下公式计算：

X = [x1, x2];
Y = [y1, y2];
B = inv(X'*X)*X'*Y;
a11 = B(1,1);
a12 = B(2,1);
a21 = B(1,2);
a22 = B(2,2);
b1 = B(1,3);
b2 = B(2,3);

接下来，可以使用Matlab进行仿真并生成相应的仿真报告。您可以使用Matlab中的MATLAB Curve Fitting Toolbox来拟合数据。具体而言，您可以使用fit函数来创建一个拟合模型，并使用cfit对象来查看和评估拟合结果。以下是一个基本示例：

% 单输入单输出最小二乘法拟合
x = [1 2 3 4 5];
y = [2.1 3.9 6.1 8.0 9.9];
f = fit(x', y', 'poly1');
plot(f, x, y);

% 两个输入和两个输出的最小二乘法拟合
x1 = [10 20 30 40 50];
x2 = [2 4 6 8 10];
y1 = [35 62 88 115 140];
y2 = [52 88 125 160 192];
X = [x1', x2'];
Y = [y1', y2'];
f = fittype('a11*x1 + a12*x2 + b1, a21*x1 + a22*x2 + b2', 'independent', {'x1', 'x2'}, 'dependent', {'y1', 'y2'}, 'coefficients', {'a11', 'a12', 'a21', 'a22', 'b1', 'b2'});
[model, gof] = fit(X, Y, f);
plot(model);

在上述示例中，fit函数使用多项式模型来拟合第一个示例中的数据。在第二个示例中，fittype函数定义了一个包含六个系数的模型，并使用fit函数进行拟合。使用plot函数来可视化拟合结果。

希望这些建议能够帮助您了解如何在Matlab中进行最小二乘法的推导和仿真。如果您需要更多帮助，请随时问我。

单输入单输出情况的推导如下: