非自洽系统的LaSalle不变集原理的严格数学表述及证明
非自洽系统的LaSalle不变集原理的严格数学表述及证明
LaSalle不变集原理是控制理论中的重要定理之一，其数学表述为：
设系统的微分方程为：\dot{x}=f(x)
x
˙
=f(x)，x\in R^nx∈R
n
，有一个连续函数V(x)满足以下条件：
V(x)V(x)是正定的，即V(x)>0,\ \forall x\neq0V(x)>0, ∀x
=0
\dot{V}(x)\leq 0,\ \forall x\neq0
V
˙
(x)≤0, ∀x
=0
\dot{V}(x)=0
V
˙
(x)=0的充分必要条件为x=0x=0
则令M={x|V(x)\leq c}M={x∣V(x)≤c}，其中c为常数，则：
M是一个紧集
从任意初始状态，系统的轨迹最终都会落到M内部并且停留在M上
证明：
首先证明MM是一个紧集。
因为V(x)>0V(x)>0，所以MM是一个闭集。假设MM不是紧集，则存在MM的一个开覆盖，即存在一系列开集{U_i}{U
i
}，使得M\subset \cup_{i=1}^{\infty}U_iM⊂∪
i=1
∞
U
i
。根据MM的定义，对于任意的x\in R^n-Mx∈R
n
−M，有V(x)>cV(x)>c。因此，对于任意的ii，都存在c_i>cc
i
c，使得V(x)>c_iV(x)>c
i
对x\in U_ix∈U
i
成立。由于f(x)f(x)连续，因此f^{-1}(U_i)f
−1
(U
i
)开集，且x\in f^{-1}(U_i)x∈f
−1
(U
i
)时，\dot{V}(x)\leq0
V
˙
(x)≤0。因此，对于任意的ii，有\dot{V}(x)\leq0
V
˙
(x)≤0对x\in f^{-1}(U_i)x∈f
−1
(U
i
)成立。由于MM不是紧集，因此存在一列点y_n\in My
n
∈M，使得y_ny
n
没有收敛子列。因此，定义序列{x_n}{x
n
}，使得x_nx
n
为离y_ny
n
最近的U_iU
i
中的一点，则x_nx
n
可以被证明是无界的。根据定义，x_n\in U_i,c_ix
n
∈U
i
,c
i
,因此V(x_n)>c_iV(x
n
)>c
i
。因为V(x)V(x)是正定的，而c_i>cc
i
c，因此V(x_n)>cV(x
n
)>c，即x_n\notin Mx
n
∈
/
M，与定义矛盾。因此，MM是紧集。
现在我们证明第二部分，即从任意初始状态，系统的轨迹最终都会落到MM内部并且停留在MM上。
根据条件2，有\dot{V}(x)\leq0
V
˙
(x)≤0，因此V(x)V(x)不会无限制增长，即对于任意的初始状态x_0x
0
，系统的解会存在一定的范围内摆动，直到最后落到MM内部。假设存在解x(t)x(t)使得x(t)x(t)在t_1t
1
时刻进入了MM，但是在t_2>t_1t
2
t
1
时刻离开了MM。则必然存在t_3\in(t_1,t_2)t
3
∈(t
1
,t
2
)，使得V(x(t_3))V(x(t
3
))达到了m=inf{V(x)|t_1\leq t\leq t_2}m=inf{V(x)∣t
1
≤t≤t
2
}。由于\dot{V}(x)\leq0
V
˙
(x)≤0，因此m=V(x(t_3))m=V(x(t
3
))，进一步推出\dot{V}(x(t_3))=0
V
˙
(x(t
3
))=0。根据条件3，x(t_3)x(t
3
)必须是一个不动点，即x(t_3)=0x(t
3
)=0。但是，m=V(x(t_3))m=V(x(t
3
)),因此x(t)x(t)不可能穿过圆心，与假设矛盾。因此，从任意初始状态，系统的轨迹最终都会落到MM内部并且停留在MM上。