统计学点估计均匀分布

设X1,X2,…,Xn来自均匀总体U(θ,0),参数θ<0未知，设该参数的两个估计量：θ1=X2,θ2=X（1）,(1)试证明：θ的矩估计量是θ1，θ的极大似然估计量是θ2；(2)试讨论两个估计量的无偏性；(3)θ2是渐近无偏估计吗？如何修正θ2，可以让它成为无偏估计，将θ2修正后的估计量记为θ3；(4)比较θ1和θ3的有效性。

首先，我们来证明$\theta_1=X^2$是矩估计量。设$Y=X^2$，则有$E(Y)=E(X^2)=\theta+\frac{1}{3}\theta=\frac{4}{3}\theta$。根据矩估计原理，我们令$E(Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$，即$\frac{4}{3}\theta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$，解出$\theta=\frac{3}{4}\overline{X^2}$，故$\theta_1=X^2$是矩估计量。

接着，我们来证明$\theta_2=X_{(1)}$是极大似然估计量。设$f(x;\theta)$为均匀分布的概率密度函数，则有：

由于$\theta<0$，因此似然函数只与$x_{(1)}$有关。为使似然函数最大，应当取$\theta=x_{(1)}$，故$\theta_2=X_{(1)}$是极大似然估计量。

对于无偏性，我们可以计算期望$E(\theta_1)=E(X^2)=\theta+\frac{1}{3}\theta=\frac{4}{3}\theta$，而$E(\theta_2)=E(X_{(1)})=\frac{n}{n+1}\theta$。因此，$\theta_1$是无偏估计量，而$\theta_2$是有偏估计量。

为了纠正$\theta_2$的偏差，我们提出了一个新的估计量$\theta_3=\frac{n+1}{n}X_{(1)}$。我们可以计算期望$E(\theta_3)=E\left(\frac{n+1}{n}X_{(1)}\right)=\frac{n+1}{n}E(X_{(1)})=\theta$，因此$\theta_3$是无偏估计量。此外，当$n$趋于无穷大时，$\theta_3$也具有渐近无偏性。

最后，我们比较$\theta_1$和$\theta_3$的有效性。由于$\theta_3$是无偏估计量，因此我们比较它们的方差。计算可得：

由于$\theta<0$，因此$\operatorname{Var}(\theta_3)<\operatorname{Var}(\theta_1)$，即$\theta_3$更加有效。