无限维向量空间为什么能与它的一个真子空间同构，空间与空间之间同构的条件是什么
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一个无限维向量空间可以与其某个真子空间同构，这是因为无限维向量空间的基是无穷的，因此可以通过选择一个基的无限子集作为某个真子空间的基，从而建立这两个空间之间的同构映射。
一个向量空间与另一个向量空间之间的同构条件是它们之间存在一个双射线性映射，也就是说，它们的维数相同，并且存在一个满足线性性和双射性的映射。这意味着这两个空间在线性代数意义下是完全相同的，它们的所有结构和性质都可以通过同构映射互相映射。
一个无限维向量空间可以与它的一个真子空间同构，这是因为一个无限维向量空间可以有多个基，而不同基所生成的子空间可以相互同构。同构的条件是两个向量空间之间存在一个线性变换，它既是单射又是满射，即一一对应。
例如，考虑实数域上的无限维向量空间R[x]和它的一个真子空间P[x]，其中P[x]是所有次数小于n的多项式组成的向量空间，n是一个固定的正整数。由于R[x]和P[x]都是无限维向量空间，它们可以有多个基。我们可以选择R[x]的一组基{1, x, x^2, x^3, ...}和P[x]的一组基{1, x, x^2, ..., x^(n-1)}，这样就可以建立一个从P[x]到R[x]的同构映射，它将P[x]中的每个多项式都扩展为R[x]中的一个多项式。这个映射是线性变换，它既是单射又是满射，因此P[x]和R[x]是同构的。