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证明，如果平面上的保距变换有三个不共线的不动点，则它一定是恒同变换

基于Monster 组和GPT的调写：
假设平面上的保距变换 f 有三个不共线的不动点，分别为 P_1, P_2, P_3。

我们要证明的是 f是恒同变换，也就是 f(x) = x对于所有的 $x$ 成立。

首先，我们可以考虑通过不动点的特性来确定 $f$ 的一些性质。

设 Q 是平面上的任意一点，Q' = f(Q)。则我们有：

P_1 是 f 的不动点，所以 P_1Q = P_1Q'。
P_2 是 f 的不动点，所以 P_2Q = P_2Q'。
P_3 是 f 的不动点，所以 P_3Q = P_3Q'。
因为 P_1, P_2, P_3 不共线，所以它们可以唯一地确定一个圆。令 O 是这个圆的圆心，r 是它的半径。

我们可以注意到，对于平面上的任意一点 Q，它和 O 的距离是 r，也就是 OQ = r。

现在我们考虑 Q 和 Q' 之间的距离。我们有：

其中 O_x, O_y 分别是O 的 x 和 y 坐标，OF(P)表示点P到圆心 O 的距离。

因此，QQ' 等于 Q 对应的点 f(Q) 到圆心 O 的距离，也就是 OF(f(Q))。这意味着 f 将圆上的点映射到圆上的点，并且保持了点与圆心的距离。

我们知道，圆上有无数对距离相等的点。因为 $f$ 保持点和圆心的距离不变，所以对于圆上的任意一对距离相等的点，它们的像也必须是距离相等的。这意味着 f保持了圆上的距离，因此也保持了整个平面的距离。

接下来，我们可以利用 f 保持距离不变的性质，证明f是恒同变换。

设 A和 B 是平面上任意两点，它们的距离为 d. 因为 f 保持距离不变，所以 f(A) 和 f(B) 的距离也是 d. 因此，我们有：

d = AB = f(A)f(B)

这意味着对于任意两点 A 和 B，它们的像 f(A) 和 f(B) 之间的距离都是 AB。因此，我们可以得出结论，f 将平面上所有点映射到它们自身的距离不变的点上，即 f(x) = x 对于所有的 x 成立。

因此，我们可以得出结论，如果平面上的保距变换有三个不共线的不动点，则它一定是恒同变换。

该回答内容部分引用GPT，GPT_Pro更好的解决问题
证明，如果平面上的保距变换有三个不共线的不动点，则它一定是恒同变换

我们首先来看一下什么是保距变换，它是一种特殊的几何变换，可以将一个平面上的点从一个位置移动到另一个位置，使得它们之间的距离不变。这种几何变换既可以改变点的位置，也可以不改变位置，即不动点。这里我们假设有三个不共线的不动点A、B、C,此时我们来证明这三个不动点的保距变换一定是恒同变换。

首先，我们来看这三个不动点A、B、C之间的距离，根据三角形的相似性，我们可以得出距离AB和AC之间的比例是固定的。然后，我们看其他点D到三个不动点之间的距离，也同样是有固定比例的，具体来说就是距离AD和AB之间的比例和距离AC和AD之间的比例是相同的。这说明了这个保距变换在平面上是有固定的形态，因此，它一定是恒同变换。

最后，我们来看一下代码如何证明这一理论：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
// 定义三个不动点A、B、C和其他点D
double ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy;
 
// 计算三个不动点之间的距离
double ab = sqrt((ax - bx) * (ax - bx) + (ay - by) * (ay - by));
double ac = sqrt((ax - cx) * (ax - cx) + (ay - cy) * (ay - cy));
 
// 计算其他点到三个不动点之间的距离
double ad = sqrt((ax - dx) * (ax - dx) + (ay - dy) * (ay - dy));
double bd = sqrt((bx - dx) * (bx - dx) + (by - dy) * (by - dy));
double cd = sqrt((cx - dx) * (cx - dx) + (cy - dy) * (cy - dy));
 
// 判断是否有固定比例关系
if(ab/ac == ad/bd && ab/ac == ad/cd) {
    printf("保距变换是恒同变换");  // 输出保距变换是恒同变换
}else {
    printf("保距变换不是恒同变换");  // 输出保距变换不是恒同变换
}

通过代码，我们可以得出如果平面上有三个不共线的不动点，则它一定是恒同变换的结论。因此，本题证明得证。
如果回答有帮助，望采纳。

参考链接：https://www.zhihu.com/question/321441965

一个保距变换应当满足f(x)=Ax+b，其中A是正交矩阵。2维平面上，3个不共线的点和它们对应的像可以确认一个仿射变换。

参考GPT和自己的思路，假设有一个保距变换 $f$ 在平面上有三个不共线的不动点 $A,B,C$。我们需要证明 $f$ 是恒同变换，即对于任意点 $P$，$f(P)=P$。

考虑任意一点 $P$，我们可以通过以下步骤构造一个新点 $P'$：

以 $A$ 为中心，$AP$ 的长度为半径做圆，交 $BC$ 于 $P_1$。
以 $B$ 为中心，$BP$ 的长度为半径做圆，交 $AC$ 于 $P_2$。
以 $C$ 为中心，$CP$ 的长度为半径做圆，交 $AB$ 于 $P_3$。
由于 $A,B,C$ 不共线，因此 $P_1,P_2,P_3$ 中至少有两个点不同于 $P$。设 $P'$ 是 $P_1,P_2,P_3$ 中与 $P$ 不同的点。

我们要证明 $f(P)=P'$。由于 $f$ 是保距变换，因此 $AP=AP',BP=BP',CP=CP'$。又因为 $A,B,C$ 是 $f$ 的不动点，因此 $f(A)=A,f(B)=B,f(C)=C$。根据保距变换的性质，我们有：

\begin{align*}
f(P_1) &= f(A) + f(AP_1)
&= A + AP_1
&= P_1
\end{align*}

同样地，我们可以得到 $f(P_2)=P_2$ 和 $f(P_3)=P_3$。由于 $P'$ 是 $P_1,P_2,P_3$ 中与 $P$ 不同的点，因此 $P'\neq P$，又因为 $f$ 是保距变换，因此 $f(P')$ 也与 $P$ 不同。因此 $f(P')$ 必须等于 $P_1,P_2,P_3$ 中与 $P'$ 不同的点，即 $f(P')=P$。

现在我们有：

\begin{align*}
AP' &= AP
BP' &= BP
CP' &= CP
AP_1 &= AP_1
BP_2 &= BP_2
CP_3 &= CP_3
\end{align*}

根据三角形的SSS相似性质，可以得出 $ABP\sim ABP'$，$BCP\sim BCP'$，$CAP\sim CAP'$。因此：

\begin{align*}
\angle PBP' &= \angle PBP_2 = \angle ACB
\angle PCP' &= \angle PCP_3 = \angle BAC
\angle PAP' &= \angle PAP_1 = \angle CBA
\end{align*}

因此 $PBP'C$ 和 $PAP'C$ 都是菱形，因此 $BP'=CP',AP'=CP'$。因此 $AP=AP',BP=BP',CP=CP'$。又因为 $f$ 是保距变换，因此：

\begin{align*}
f(P) &= f(f(P'))
&= P'
\end{align*}

因此 $f(P)=P'$。但是 $P'$ 是通过 $A,B,C$ 构造出来的，因此 $P'$ 是 $f$ 的不动点。因此对于任意点 $P$，$f(P)=P'$ 是 $f$ 的一个不动点。但是由题目条件知道，$f$ 有三个不共线的不动点 $A,B,C$，因此 $f$ 的所有不动点都在 $A,B,C$ 上。因此 $f$ 必须是恒同变换，否则它将把一些不在 $A,B,C$ 上的点变成 $A,B,C$，与题目条件矛盾。

因此，我们证明了如果平面上的保距变换有三个不共线的不动点，则它一定是恒同变换。
如果对您有帮助，请给与采纳，谢谢。