在右手直角坐标系I＝｛O，e1，e2｝中，设f是把直线x.＝0变为x＝1，把直线y＝0变为y＝2。把点（1，2）变为（2，0）的仿射变换，
一，求f在I中的变换公式，
二，证明f是保距变换
三，判断f是平移，反射，旋转，滑反射中的哪一种，并证明
在直角坐标系l={O,e1,e2}中，设f是将直线x=0变为x=1，将直线y=0变为y=2，将点(1,2)变为(2,0)的仿射变换。我们需要找到该变换的矩阵表示。
首先，由于该变换将直线x=0变为x=1，因此它必须保持直线y=0不变。同样地，它将直线y=0变为y=2，因此必须保持直线x=0不变。因此，该变换的矩阵表示为：
[ 0 1 1 ]
[ 2 0 -1 ]
[ 0 0 1 ]
其中，第一行表示e1的变换，第二行表示e2的变换，第三行表示平移。
其次，该变换将点(1,2)变为(2,0)，因此可以计算出平移向量为
[ 1 ]
[-2 ]
[ 0 ]
因此，该变换的矩阵表示为：
[ 0 1 1 ]
[ 2 0 -1 ]
[ 0 0 1 ] * [x, y, 1]' + [ 1, -2, 0]'
其中，[x, y, 1]'表示齐次坐标。
要证明f是保距变换，需要证明对于所有的向量u和v，它们之间的欧几里得距离与它们在f下的像之间的欧几里得距离相等，即：
||f(u) - f(v)|| = ||u - v||
根据矩阵变换的定义，我们可以将其展开为：
||Au - Av|| = ||u - v||
其中，A表示f的矩阵表示。
现在，我们可以计算矩阵A和它的转置矩阵AT的乘积，得到：
A * AT =
[ 2 0 0 ]
[ 0 1 2 ]
[ 0 2 5 ]
这是一个对称矩阵，因此它的特征值都是实数。此外，由于它是正定矩阵，因此它的特征值都是正数。
因此，对于所有的向量u和v，我们都有：
||Au - Av||^2 = (Au - Av)T * (Au - Av) = (u - v)T * A * AT * (u - v) = λ||u - v||^2
其中，λ表示A * AT的最小特征值。因为λ是正数，所以该变换是保距变换。
根据前面的计算结果，我们可以发现 f既不是平移，也不是反射，也不是旋转。
对于滑反射，我们可以利用其定义，即一个线性变换加上一个平移变换的组合来进行判断。
设 f' 是一个平移变换，将 (1, 2) 映射到 (2, 0)$，即 f'(1, 2) = (2, 0)。则 f - f' 是一个线性变换，我们将其记为 A。则有 A \cdot (1, 0) = (2, -2) 和 A \cdot (0, 1) = (-1, 2)。根据线性变换的定义，我们可以得到 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix}。于是可以得到 f = f' + A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix}，其中 t 是任意实数。
因此，f 是滑反射变换，其将直线 x=0映射为直线x=1，将直线 y=0映射为直线 y=2，并且保持了点(1,2) 到 (2,0) 的距离不变。
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一、求在右手直角坐标系1= {O，e1，e2} 中，促把直线x. = 0变为X= 1，把直线y = 0变为y= 2，把点 (1，2) 变为 (2，0) 的仿射变换的变换公式。
可以用下面的矩阵表示该仿射变换的变换公式：
A =
| 2 0 |
| -1 2 |
二、证明促保距变换
证明：促保距变换是仿射变换的一种，首先仔细定义保距变换。保距变换是一种仿射变换，它要求所有点对应的图像点之间的距离不发生变化。从数学上来看，对于原来的两个点P1=(x1,y1)和P2=(x2,y2)，它们对应的图像点Q1=(x1',y1')和Q2=(x2',y2')之间的距离公式如下：
d(P1,P2) = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^(1/2)
d(Q1,Q2) = ((x2'-x1')^2 + (y2'-y1')^2)^(1/2)
当d(P1,P2)=d(Q1,Q2)时，说明这是一种保距变换。由此我们可以得到下面的关系式：
((x2'-x1')^2 + (y2'-y1')^2)^(1/2) = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^(1/2)
将上面的关系式化为向量形式就是一个仿射变换的矩阵A：
A = | a b | | x | | x'| | c d | | y | = | y'|
这就是所有仿射变换中最常见的形式，由此我们可以得出结论，保距变换是一种仿射变换。
三、判断促平移，反射，旋转，滑反射中的哪一种，并证明
证明: 该仿射变换都不是平移、反射、旋转、滑动反射中的一种。由于平移是一个特例，所以我们只需要证明不是反射、旋转、滑动反射即可。
先考虑旋转和滑动反射。旋转和滑动反射都会使原来的向量方向不再相同。但是在本题中，原来的向量方向还是保留了（e1→e1,e2→e2），所以该仿射变换不是旋转或者滑动反射。
接下来考虑反射。对于一般的逆时针旋转或者顺时针旋转，它们都会保留原来的向量方向。如果要使原来的向量方向不再相同，那么必然要使用对称性或者对称性的性质。但是在本题中，我们看到a= 2,b= 0,c= -1,d= 2 ，也就是a、d不相等 ；b、c也不相等 ；a、c也不相等 ；b、d也不相等。所有这些都说明这不是一个对称性或者对称性的性质。因此这也不是一个反射。
综上所述，该仿射变换都不是平移、反射、旋转、滑动反射中的一种。
如果回答有帮助，望采纳。