在一个仿射坐标系中，仿射变换f地变换公式为
x'＝8x+2y-5
y'＝3x+7y+3
一，求f地不动点和特征向量，
二，求f的变积系数
三，求新的仿射变换系，使得f在此坐标系下变换公式为x'＝λ1x
y'＝λ2y并求两个λ
基于Monster 组和GPT的调写：
一、求f的不动点和特征向量：
不动点是指在变换下坐标不变的点，因此我们要解出以下方程组：
x' = x
y' = y
代入变换公式得到：
8x + 2y - 5 = x
3x + 7y + 3 = y
整理可得：
7x + 2y = 5
3x + 6y = -3
解方程可得不动点为：
x = -1, y = 2
接下来我们求特征向量。特征向量是指在仿射变换下方向不变的向量。设特征向量为 (a, b)，则有：
f(a, b) = λ(a, b)
代入仿射变换公式，得到：
8a + 2b = λa
3a + 7b = λb
化简得到：
(8-λ)a + 2b = 0
3a + (7-λ)b = 0
因为特征向量不为零向量，所以系数矩阵必须是奇异矩阵，即行列式为零：
(8-λ)(7-λ) - 6 = 0
解得：
λ1 = 10， λ2 = 5/2
分别带入特征向量的方程组，得到两个特征向量：
(a1, b1) = (1, -3)
(a2, b2) = (2, 1)
因此f的特征向量为 (1, -3) 和 (2, 1)。
二、求f的变积系数：
变积系数是指仿射变换下单位面积的变换大小。设单位正方形的面积为1，则在变换下的面积为|det(M)|，其中M是变换矩阵。因此变积系数为sqrt(|det(M)|)。
f的变换矩阵为：
M = [8 2; 3 7]
计算行列式得到：
det(M) = 50
因此f的变积系数为sqrt(50)。
f(g(x,y)) = (λ1x, λ2y)
设g的矩阵为：
G = [a b; c d]
则有：
f(G(x,y)) = (λ1x, λ2y)
= f(a x + b y + e, c x + d y + f)
= (8(a x + b y + e) + 2(c x + d y + f) - 5, 3(a x + b y + e) + 7(c x + d y + f) + 3)
= (8a+2c)x + (2b+7c)y - 5a - 3c + e, (3a+7c)x + (3b+7d)y + 3c + f)
因为我们要求g的矩阵，所以需要解出以下方程组：
8a+2c = λ1a
2b+7c = λ2b
3a+7c = λ1c
3b+7d = λ2d
将上式整理可得：
(8-λ1)a + 2c = 0
2b + (7-λ2)c = 0
(3-λ1)a + 7c = 0
3b + (7-λ2)d = 0
因为g的矩阵不为奇异矩阵，所以系数矩阵必须可逆，即行列式不为零：
(8-λ1)(7-λ2) - 6 = 0
解得：
λ1 = 10， λ2 = 5/2
将λ1和λ2带入上述方程组，可解出g的矩阵为：
G = [1 1/2; -3/10 1]
因此新的仿射变换为：
g(x,y) = (x + y/2, -3x/10 + y)
其中λ1 = 10， λ2 = 5/2。
参考GPT和自己的思路，为了回答这个问题，我们需要先回顾一下仿射变换的基本概念。仿射变换是指一种线性变换和平移变换的组合。具体地，一个二维仿射变换可以表示为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x' \ y' \ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
其中，$a,b,c,d,e,f$是仿射变换的参数。这个变换将点$(x,y)$映射到点$(x',y')$。注意，由于矩阵的第三行固定为$(0,0,1)$，所以仿射变换保持直线的性质。
现在我们来回答问题：
一、不动点是指在变换后仍然保持原来位置的点，因此可以通过解方程组$x' = x$和$y' = y$来求得不动点：
\begin{aligned}
8x+2y-5 &= x
3x+7y+3 &= y
\end{aligned}
解这个方程组得到$x = \frac{8}{55}$和$y = \frac{19}{55}$，因此不动点为$(\frac{8}{55}, \frac{19}{55})$。
特征向量是指在仿射变换中被拉伸或压缩的方向，可以通过求解仿射变换的特征值和特征向量来得到。特征值和特征向量可以通过求解矩阵的本征值和本征向量来得到，但是由于仿射变换矩阵的第三行固定为$(0,0,1)$，所以它的本征值为$1$，对应的特征向量为$(0,0)$。因此，仿射变换没有特征向量。
二、变积系数是指仿射变换将平行四边形面积变换的比例因子。对于一个仿射变换：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x' \ y' \ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
它的变积系数为$|ae-bd|$。因此，我们可以计算出$f$的变积系数：
\begin{equation}
|ae-bd| = |(8)(7) - (2)(3)| = 52
\end{equation}
三、我们希望找到一个新的仿射坐标系，使得仿射变换$f在新的仿射坐标系中，变换公式为$x' = \lambda_1 x$和$y' = \lambda_2 y$。我们可以将这个仿射变换表示为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x' \ y' \ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
为了求出$\lambda_1$和$\lambda_2$，我们需要将原始仿射变换$f$表示为新的仿射变换。具体来说，我们需要找到一个仿射变换矩阵$M$，使得$f = M^{-1}AM$，其中$A$是新的仿射变换矩阵。
我们可以将$f$表示为矩阵形式：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x' \ y' \ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 2 & -5 \ 3 & 7 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
我们可以将新的仿射变换表示为矩阵形式：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x' \ y' \ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
我们需要找到仿射变换矩阵$M$，使得$f = M^{-1}AM$。因为仿射变换矩阵$M$是一个可逆矩阵，所以我们可以通过求解线性方程组来找到它。
首先，我们将新的仿射变换矩阵$A$展开为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
= M^{-1}
\begin{pmatrix} 8 & 2 & -5 \ 3 & 7 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
M
\end{equation}
我们可以用矩阵乘法展开左右两边，得到：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
= M^{-1}
\begin{pmatrix} 8 & 2 & -5 \ 3 & 7 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
M
\end{equation}
我们可以用矩阵乘法展开左右两边，得到：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 8 & 2 & -5 \ 3 & 7 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
我们可以将矩阵乘法展开为一个线性方程组：
\begin{align}
\lambda_1 &= 8a
\lambda_2 &= 7e
0 &= bf - ce
0 &= df - be
0 &= -5a + 3d
0 &= -5c + 3f
\end{align}
解这个线性方程组，我们得到：
\begin{align}
a &= \frac{\lambda_1}{8}
b &= \frac{3}{\lambda_2}
c &= -\frac{5\lambda_1}{24}
d &= \frac{1}{\lambda_2}
e &= 1
f &= \frac{5}{\lambda_1}
\end{align}
因为仿射变换矩阵$M$是一个可逆矩阵，所以我们可以通过求逆矩阵来得到它：
\begin{equation}
M =
\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\frac{\lambda_1}{8} & -\frac{3\lambda_1}{8\lambda_2} & \frac{5\lambda_1}{24}
-\frac{1}{\lambda_2} & 1 & -\frac{5}{\lambda_1}
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
因此，新的仿射变换系为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \frac{\lambda_1}{8} & -\frac{3\lambda_1}{8\lambda_2} & \frac{5\lambda_1}{24} \ -\frac{1}{\lambda_2} & 1 & -\frac{5}{\lambda_1} \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\lambda_1}{8}x - \frac{3\lambda_1}{8\lambda_2}y + \frac{5\lambda_1}{24} \ -\frac{1}{\lambda_2}x + y - \frac{5}{\lambda_1} \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
我们对其进行仿射变换，得到：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 8 & 2 & -5 \ 3 & 7 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\lambda_1}{8}x - \frac{3\lambda_1}{8\lambda_2}y + \frac{5\lambda_1}{24} \ -\frac{1}{\lambda_2}x + y - \frac{5}{\lambda_1} \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\lambda_1 x + \frac{2\lambda_2-15}{3}y + \frac{7\lambda_1-15}{3} \ 3\lambda_1 x + 4\lambda_2 y + 3\lambda_1 + 3\lambda_2 - 10 \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
最后，我们将其变换回原始的仿射坐标系中，得到：
\begin{pmatrix} \frac{16}{\lambda_1}x + \frac{9}{\lambda_1}y + \frac{7\lambda_2 - 135}{3\lambda_1} \ -\frac{4}{\lambda_2}x + \frac{28}{\lambda_2}y + \frac{12\lambda_1 + 12\lambda_2 - 30}{\lambda_2} \ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
因此，新的仿射变换矩阵为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \frac{16}{\lambda_1} & \frac{9}{\lambda_1} & \frac{7\lambda_2 - 135}{3\lambda_1} \ -\frac{4}{\lambda_2} & \frac{28}{\lambda_2} & \frac{12\lambda_1 + 12\lambda_2 - 30}{\lambda_2} \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
我们希望变换后的公式为 $x' = \lambda_1 x$ 和 $y' = \lambda_2 y$，因此，我们需要满足以下方程组：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{16}{\lambda_1} &= \lambda_1
\frac{9}{\lambda_1} &= 0
-\frac{4}{\lambda_2} &= 0
\frac{28}{\lambda_2} &= \lambda_2
\end{aligned}
\end{equation}
解得 $\lambda_1 = 16$，$\lambda_2 = 28$。因此，新的仿射变换矩阵为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ 0 & 4 & -\frac{15}{2} \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
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