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数值实验：已知数据如下，试用一次、二次、三次多项式拟合上述数据，计算平方误差并进
行比较
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多项式拟合是一种数学方法，用于通过给定的数据点来构造一个多项式函数，使其尽可能地拟合给定的数据点。平方误差是一种评估拟合结果的方法，它是对每个数据点的拟合误差的平方和的结果。
举个例子，假设我们已经有以下数据点：
我们可以用一次多项式拟合这些数据点：
通过最小二乘法求解参数a和b，我们可以得到：
因此，我们的一次多项式拟合函数为：
我们可以计算出每个数据点的误差，并计算平方误差：
同样的，我们可以用二次多项式拟合数据点：
通过最小二乘法求解参数a，b和c，我们可以得到：
因此，我们的二次多项式拟合函数为：
再次计算平方误差，并与一次多项式拟合的平方误差进行比较。
同理，我们也可以用三次多项式拟合数据点：
通过最小二乘法求解参数a，b，c和d，我们可以得到：
因此，我们的三次多项式拟合函数为：
最后，我们再次计算平方误差，并与一次和二次多项式拟合的平方误差进行比较。通常情况下，随着多项式次数的增加，平方误差将会减小，因为多项式可以更加精细地拟合数据点。但是，如果多项式次数过大，它可能导致过拟合，并导致平方误差增加。因此，需要在平方误差和拟合精度之间进行平衡。
错误偏差是多项式模拟数据时一种常用的错误程度方法
平方错误公式：
$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(y_i-f(x_i))^2$
其中，N是样本数，$y_i$是样本点的真实值，$f(x_i)$是多项式模拟的值。
计算方法错误的步骤：
根据样本数据模拟出一个多项目式模型。
对于每个样点，计算$y_i$和多项式的模拟值$f(x_i)$的差值$(y_i-f(x_i))^2$。
将每个样本点的差值相加，并除去以样本数N，得到平均差的值$E$。
例如，对于典型点（1,2），（2,3），（3,6），假设组合出的多项式为$f(x)=2x+1$，则错误偏差为：
$E = \frac{1}{3} \left[ (2-3)^2 + (3-5)^2 + (6-7)^2 \right]= \frac{1}{3} ( 1+4+1)=\frac{6}{3}=2$
可以看出，横向错误差异是计量多项式模拟数据错误差异的一种方法，值越小说明多项式模拟的越好
下面是对已经知道的数据使用一次、二次、三次多项式模拟并计算错误偏差的具体步骤：
一次多项式模拟
首先，用一次多项式模拟数据，公式为$f(x)=ax+b$，需要求解$a$和$b$的值。
设置数据有N个，则有两个方法：
$\sum_{i=1}^{N} x_iy_i = a\sum_{i=1}^{N}x_i + b\sum_{i=1}^{N}y_i$
$\sum_{i=1}^{N} y_i = a\sum_{i=1}^{N}x_i + bN$
经过求解，得到$a=0.76$，$b=2.51$。
接下来，计算每个典型点的错误偏差：
$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(y_i-f(x_i))^2$
$E = \frac{1}{6} \left[ (4-4.76)^2 + (5-3.76)^2 + (6-2.51)^2 + (7-1.26)^2 + (8-0 )^2 + (9-2.24)^2 \right]=\frac{5.76}{6}=0.96$
二次多项式模拟
接下来，用二次多项式模拟数据，公式为$f(x)=ax^2+bx+c$，需要求解$a$，$b$，$c$的值。
同样，设置数据有N个，则有三个方法：
$\sum_{i=1}^{N} x_i^2y_i = a\sum_{i=1}^{N}x_i^2 + b\sum_{i=1}^{N}x_iy_i + c\sum_{ i=1}^{N}y_i$
$\sum_{i=1}^{N} x_iy_i = a\sum_{i=1}^{N}x_i^2 + b\sum_{i=1}^{N}x_i
给输出数据如下：
X 是
1个 2个
2个 3个
3个 6个
对于一次多项式模拟，多项式为$f(x) = ax + b$，求解出a和b的值：
$2 = a + b$
$3 = 2a + b$
$6 = 3a + b$
解出a=2，b=0，多项式为$f(x)=2x$，计算方法错误差：
$E = \frac{1}{3} \left[ (2-2)^2 + (3-4)^2 + (6-6)^2 \right]= \frac{1}{3} ( 0+1+0)=\frac{1}{3}=0.33$
对于二次多项式模拟，多项式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，求解出a、b和c的值：
$2 = a + b + c$
$3 = 4a + 2b + c$
$6 = 9a + 3b + c$
解出a=1，b=0，c=1，多项式为$f(x)=x^2+1$，计算方法错误差：
$E = \frac{1}{3} \left[ (2-3)^2 + (3-3)^2 + (6-7)^2 \right]= \frac{1}{3} ( 1+0+1)=\frac{2}{3}=0.67$
对于三次多项式模拟，多项式为$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，求解出a、b、c和d的值：
$2 = a + b + c + d$
$3 = 8a + 4b + 2c + d$
$6 = 27a + 9b + 3c + d$
解出a=1，b=0，c=0，d=1，多项式为$f(x)=x^3+1$，计算方法错误差：
$E = \frac{1}{3} \left[ (2-3)^2 + (3-3)^2 + (6-7)^2 \right]= \frac{1}{3} ( 1个
希望能帮到你！