用数字 0123456789 构成的 n 位自然数，同一个数字最多可以使用 k 次，这样的自然数有多少个？
这是个排列问题。
8位数以内，可以简单枚举，验证所有排列，统计出结果；
50位数以内，可以通过编程，枚举各种组合，并计算这些组合的排列数，也可以较快获取答案。
但是，如果 n 非常大，比如 n > 100，编程计算的效率就会大大降低，甚至无法快速得出结果。
有没有直接的数学公式用于解决这个问题？
附几个编程计算（算法经过暴力试算验证，n<15）的结果，供参考。
n = 3，k = 2，sum = 891；
n = 5，k = 3，sum = 89586；
n = 7，k = 2，sum = 6735960；
n = 7，k = 5，sum = 8999424；
n = 12，k = 3，sum = 676277910000；
n = 12，k = 7，sum = 899969278230；
n = 20，k = 6，sum = 87854227537752932256；
n = 20，k = 15，sum = 89999999999706287916；
n = 50，k = 5，sum = 44208412655479319001657875464053429213265920；
n = 50，k = 25，sum = 89999999999903263796855035287011129723445086257116；
n = 50，k = 50，sum = 90000000000000000000000000000000000000000000000000；
n = 100，k = 30，sum = 8999999455766537139925815663912466168371880602271949761777640859936611152005697831429106355805635456。
上述例子，加粗的为特例，可以直接通过数学方法计算结果；
最后一个是枚举组合+计算排列，枚举了3068977个组合，耗时5分钟；
n < 30 时，计算耗时在 0.1 秒以内；
n < 50 时，计算耗时在 1 秒以内。
求直接计算的数学方法，或者更快的算法。
这是求有限数字构成的全排列数量的问题。
用数学方法，可以使用生成函数求解。
设生成函数为：
F(x) = (1 + x + x^2 + ... + x^k)^n
其中，n 为数字个数，k 为同一数字使用次数限制。
系数对应的数字，即为答案。
但是，这样的生成函数可能会很大，难以直接求解。
如果 n 很大，而 k 比较小，可以使用拉格朗日反演等方法求解。
如果 n 很小，而 k 比较大，可以使用组合数学的方法求解。
但是，如果 n 和 k 都很大，建议使用数值计算方法，比如多项式乘法、矩阵乘法等。
总之没有直接的数学公式，需要根据实际情况，选择合适的方法解决。
动态规划里面数位dp，就是解决这种有位数限制的题目
没等到更快的算法。
昨天与ChatGPT交流了一下，基本上确认这是一个NP完全问题，枚举走不通，母函数效率低。
写了一段fortran代码，发至CSDN博客。具体内容见博客链接：
https://blog.csdn.net/fortranboy_sh/article/details/128884095
与各位程序员交流。
对于一个数字，有 k + 1 种选择的方案，不选、选 1 个、选 2 个、...、选 k 个。那么总的选择方案数就是：（k + 1）^ 10。
所以可以用下面这个方法：
对于 n = 0，答案为 1。
对于 n = 1，答案为（k + 1）^ 10。
对于 n > 1，从 (k + 1) ^ 10 个数中，选取一个未使用的数字，递归调用计算 n - 1 位数字的方案数，将所有结果相加。
这样，就可以通过数学方法计算结果，算法的复杂度是 O(n(k + 1)^ 10)，但是效率要远高于枚举组合，并且可以计算 n 很大的情况。
“该回答引用ChatGPT”
请参考下面的解决方案，如果可行，还请点击 采纳，感谢！
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 105
#define M 2005
using namespace std;
int n,k,t,cnt;
ll f[N][M];
inline void solve()
{
f[0][0]=1;
for(int i=0;i<10;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
for(int k=0;k<=min(j,k)&&k<=i;k++)
f[j][k]+=f[j-k-1][k];
for(int i=0;i<=n;i++)
cnt+=f[n][i];
cout<<cnt<<endl;
}
int main()
{
while(cin>>n>>k&&n!=0&&k!=0)
{
cnt=0;
memset(f,0,sizeof f);
solve();
}
return 0;
}