某项工作，A 单干时获利为 1， B 单干时获利为 2， C 单干时获利为 1， AB 联盟作为个体单干时获利为 10， AC 联盟作为个体单干时获利为 30，BC 联盟作为个体单干时获利为 40，三人合作获利为 100. 问题：怎样将总获利 100 分配给这三人才合理？
v（a）=1，v（b）=2，v（c）=1，v（ab）=10，v（ac）=30，v（bc）=40，v（abc）=100
公平分配收益问题可以用沙普利值来解决。在这个问题中需要计算每一个人的边际贡献，对于n个人的合作博弈问题，利用沙普利值的计算公式$$\phi_i(v)=\frac{1}{n!}\sum_{S\subseteq N\backslash{i}}\binom{n-1-|S|}{|S|}(v(S\cup{i})-v(S))$$ 其中，$v$ 是该问题的特征函数，$v(S)$ 表示联合决策 $S$ 时的获利，$|S|$ 表示联合决策 $S$ 中的人数，$N$ 是所有参与者的集合，$i\in N$ 表示要计算 Shapley value 的人，$\phi_i(v)$ 表示第 $i$ 个人的 Shapley value。 根据这个公式，我们可以得到下面的计算过程：
对于每个人，计算他在所有可能的联合决策中的边际贡献。具体来说，对于每个人 $i$，我们可以列出包含他和其他人的所有可能的联合决策（一共有 $2^n-1$ 种），然后计算出在每种联合决策中，他对于最终获利的贡献。例如，对于 A，可能的联合决策有 {A}、{AB}、{AC}、{ABC}，对于 {A} 这种情况，A 的贡献为 1，对于 {AB} 这种情况，A 的贡献为 9（因为 AB 联盟单干时的获利为 10，减去 B 单干时的获利为 2），对于 {ABC} 这种情况，A 的贡献为 60（因为 ABC 三人合作时的获利为 100，减去 BC 联盟单干时的获利为 40，减去 AC 联盟单干时的获利为 30，减去 A 单干时的获利为 1，剩下的就是 A 的贡献）。
对于每个人，将他的边际贡献加权平均，得到他的 Shapley value。具体来说，对于每个人 $i$，我们可以根据上一步计算出的所有边际贡献，按照参与联合决策的人数进行加权平均。例如，对于 A，他参与的联合决策的人数分别为 1、2、3，对应的边际贡献分别为 1、9、60，加权平均后的 Shapley value 为 $(1+9/2+60/6)/3=5$。 根据这个方法，我们可以计算出每个人的 Shapley value：
A 的 Shapley value 为 5。B 的 Shapley value 为 33。C 的 Shapley value 为 22。 这个结果的意义是：如果三个人按照 Shapley value 分配收益，A 应该获得 5/60 的收益，B 应该获得 33/60 的收益，C 应该获得 22/60 的收益。这个分配方案满足 Shapley value 的公平性质，即每个人对于最终收益的贡献与他们参与的贡献成正比。