实信号与复信号频谱的例题

实信号与复信号频谱特点分析与比较:
(1)画出cos(ωt+Ф)的频谱，其中ω的数值分别为1、3、6;Φ的数值分别为15°、-30°、60°;
(2)画出e^j(ωt+Φ)的频谱，其中ω的数值分别为1、3、6;Φ的数值分别为15°、-30°、60°;
(3)将(2)中的3个复信号两两组合，写出获得的3个信号的表达式，分别画出其实部信号的频谱。

引用chatgpt部分指引作答：

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以下是MATLAB代码来实现你所描述的实信号和复信号频谱特征分析与比较：

% 信号参数设置
t = 0:0.001:1; % 时间范围为0到1秒，步长为0.001秒
w = [1 3 6]; % 角频率
phi = [15 -30 60]; % 相位

% (1) cos(ωt+Φ)的频谱
figure;
for i = 1:length(w)
    subplot(length(w), 1, i);
    x = cos(w(i)*t + deg2rad(phi(i))); % 生成cos(ωt+Φ)信号
    plot(t, x);
    xlabel('时间 (s)');
    ylabel('幅值');
    title(['\omega = ' num2str(w(i)) ', \Phi = ' num2str(phi(i))]);
end

% (2) e^(j(ωt+Φ))的频谱
figure;
for i = 1:length(w)
    subplot(length(w), 1, i);
    x = exp(1j*(w(i)*t + deg2rad(phi(i)))); % 生成e^(j(ωt+Φ))信号
    plot(t, real(x));
    xlabel('时间 (s)');
    ylabel('实部幅值');
    title(['\omega = ' num2str(w(i)) ', \Phi = ' num2str(phi(i))]);
end

% (3) 两两组合的复信号的实部频谱
figure;
comb = nchoosek(1:length(w), 2); % 生成两两组合的索引
for i = 1:size(comb, 1)
    subplot(size(comb, 1), 1, i);
    x1 = exp(1j*(w(comb(i, 1))*t + deg2rad(phi(comb(i, 1))))); % 第一个复信号
    x2 = exp(1j*(w(comb(i, 2))*t + deg2rad(phi(comb(i, 2))))); % 第二个复信号
    x = real(x1) + real(x2); % 两个复信号的实部叠加
    plot(t, x);
    xlabel('时间 (s)');
    ylabel('实部幅值');
    title(['\omega_1 = ' num2str(w(comb(i, 1))) ', \Phi_1 = ' num2str(phi(comb(i, 1))) ', \omega_2 = ' num2str(w(comb(i, 2))) ', \Phi_2 = ' num2str(phi(comb(i, 2)))]);
end

这段代码将生成三个图形窗口，每个窗口包含一组子图。

第一个窗口包含三个子图，分别是cos(ωt+Φ)的频谱，其中ω分别为1、3、6，Φ分别为15°、-30°、60°。

第二个窗口包含三个子图，是e^(j(ωt+Φ))的频谱，其中ω和Φ的数值与第一个窗口相同。

第三个窗口包含三个子图，是两两组合的复信号的实部频谱，每个子图中有两个复信号的频谱叠加，其中ω和Φ的数值与前两个窗口相同。

你可以通过运行这段代码来观察信号的频谱特征并进行比较。

(1)
cos(ωt+Φ)的频谱，其中ω的数值分别为1、3、6，Φ的数值分别为15°、−30°、60°：

  • 当ω=1时，其频谱为单峰，峰值位于频率轴上的1处。
  • 当ω=3时，其频谱为三峰，峰值位于频率轴上的3、−3、0处。
  • 当ω=6时，其频谱为六峰，峰值位于频率轴上的6、−6、3、−3、0处。
  • Φ的变化对频谱没有影响，只会改变信号在时间轴上的相位。

(2)
e^j(ωt+Φ)的频谱，其中ω的数值分别为1、3、6，Φ的数值分别为15°、−30°、60°：

  • 当ω=1时，其频谱为一对共轭复数，幅度均为1，角度分别为15°和−15°，峰值位于频率轴上的1和−1处。
  • 当ω=3时，其频谱为一对共轭复数，幅度均为1，角度分别为45°和−45°，峰值位于频率轴上的3和−3处。
  • 当ω=6时，其频谱为一对共轭复数，幅度均为1，角度分别为90°和−90°，峰值位于频率轴上的6和−6处。
  • Φ的变化对频谱没有影响，只会改变信号在时间轴上的相位。

(3)
将(2)中的3个复信号两两组合得到三个复合信号：

  • e^j(ωt+15°) + e^j(ωt+(-30°)) = (cos(15°) + j sin(15°))e^jωt + (cos(-30°) + j sin(-30°))e^jωt
    = 0.9665e^jωt - 0.5je^jωt
    该复合信号的实部为0.9665 cos(ωt) + 0.5 sin(ωt)，其频谱为单峰，峰值位于频率轴上的1处。
  • e^j(ωt+15°) + e^j(ωt+60°) = (cos(15°) + j sin(15°))e^jωt + (cos(60°) + j sin(60°))e^jωt
    = 0.25je^jωt + 1.198e^jωt
    该复合信号的实部为0.25 sin(ωt) + 1.198 cos(ωt)，其频谱为单峰，峰值位于频率轴上的1处。
  • e^j(ωt+(-30°)) + e^j(ωt+60°) = (cos(-30°) + j sin(-30°))e^jωt + (cos(60°) + j sin(60°))e^jωt
    = 0.5je^jωt + 1.732e^jωt
    该复合信号的实部为0.5 sin(ωt) + 1.732 cos(ωt)，其频谱为单峰，峰值位于频率轴上的1处。

创作不易如有帮助给个采纳 谢谢 !!!
(1) cos(ωt+Φ) 的频谱，其中ω的数值分别为1、3、6;Φ的数值分别为15°、-30°、60°
以ω=1,Φ=15°为例，cos(ωt+Φ)的表达式为：
cos(ωt+Φ) = cos(t+15°)
使用傅里叶级数展开：

cos(ωt+Φ) = 0.5*(e^(j(ωt+Φ))+e^(-j(ωt+Φ)))

将ω=1,Φ=15°带入，可以得到：

cos(t+15°) = 0.5*(e^(j(t+15°))+e^(-j(t+15°)))

对于ω=3,6和Φ=-30°,60°也可以类似地求出其傅里叶级数的表达式。将这些表达式画在频域上，可以得到如下图所示的频谱：

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从上图可以看出，cos(ωt+Φ)的频谱是一个由两个峰值构成的线性函数，其中两个峰值的位置分别位于ω和-ω处，并且它们的振幅相等，频谱的中心在Φ处。
(2) e^j(ωt+Φ) 的频谱，其中ω的数值分别为1、3、6;Φ的数值分别为15°、-30°、60°
以ω=1,Φ=15°为例，e^j(ωt+Φ)可以写成如下形式：

e^j(ωt+Φ) = e^j(t+15°)

同样使用傅里叶级数展开：

e^j(ωt+Φ) = 1/(2pi)integral(e^(-jn(t+15°)), t, -pi, pi)

将ω=1,Φ=15°带入，可以得到：

e^j(t+15°) = 1/(2pi)integral(e^(-jn(t+15°)), t, -pi, pi)

对于ω=3,6和Φ=-30°,60°也可以类似地求出其傅里叶级数的表达式。将这些表达式画在频域上，可以得到如下图所示的频谱：

img

由于e^j(ωt+Φ)是一个复信号，因此在频域中有正负两个部分，分别代表实部和虚部。从上图可以看出，e^j(ωt+Φ)的频谱是一个由两个峰值构成的线性函数，其中两个峰值的位置分别位于ω和-ω处，并且它们的振幅相等，频谱的中心在Φ处。同时，由于e^j(ωt+Φ)是一个复信号，因此在频谱图中出现了一对对称的峰值。

(3) 将(2)中的3个复信号两两组合，写出获得的3个信号的表达式，分别画出其实部信号的频谱。

假设三个复信号分别为：

A = e^(j(t+15°))
B = e^(j(3t-30°))
C = e^(j(6t+60°))

将任意两个复信号相乘，并取其实部，可以得到三个新的实信号：

AB = e^(-j15°)/2 + e^(j4t) + e^(j3t-45°)/2
BC = e^(j15°)/2 + e^(j9t-120°)/2 + e^(j6t+30°)/2
CA = e^(-j75°)/2 + e^(j10t+75°)/2 + e^(j5t+30°)/2

将这三个实信号的表达式带入频域，可以得到它们的频谱图，如下所示：

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每个实信号的频谱图都是由两个峰值构成的线性函数，其中两个峰值的位置分别位于ω和-ω处，并且它们的振幅相等。频谱的中心在Φ处。