求基础解系的函数null
求特征值的函数eig
首先判断A矩阵是否对称，在进行后续操作
可以通过以下步骤和函数来求解A的基础解系，进而求解矩阵D和矩阵T：
对矩阵A进行对称性检查，确保A是一个对称矩阵。
使用eig函数求解A的特征值和特征向量，得到A的对角化表示，即A=VDV^-1，其中D是对角阵。
对于A的任意k阶主子阵Ak，如果det(Ak)!=0，则Ak是非奇异矩阵，可求解对应的基础解系。
使用null函数，针对每个非奇异主子阵Ak，求解其零空间基向量，得到A的基础解系。
通过基础解系构造矩阵T，使得T^-1*AT=D，其中T的列向量由A的基础解系构成。
下面是MATLAB代码示例：
% 假设A已经定义好了 % Step 1: 对称性检查 if ~isequal(A, A') error('A不是对称矩阵'); end
% Step 2: 求解对角化表示 [V, D] = eig(A);
% Step 3: 针对每个非奇异主子阵求解基础解系 n = size(A, 1); idx = n:-1:1; % 从n到1的逆序 basis = zeros(n); for k = idx Ak = A(1:k, 1:k); if det(Ak) == 0 continue; end [~, X] = null(Ak); basis(:, 1:size(X, 2)) = X; break; % 找到第一个非奇异主子阵的基础解系即可 end if all(basis(:)==0) error('找不到基础解系'); end
% Step 4: 构造变换矩阵T T = basis * inv(basis(1:k, :)); if rank(T) < n error('构造的变换矩阵不是满秩的'); end
% 检查T是否满足T^-1AT=D if norm(inv(T)AT - D) > eps error('构造的变换矩阵T不满足T^-1AT=D'); end
% 输出结果 disp('A的基础解系为'); disp(basis); disp('A对角化后的矩阵D为'); disp(D); disp('求解T的过程中使用的矩阵为'); disp(basis(1:k, :)); disp('使T^TAT=D的矩阵T为'); disp(T);