matlab使用 MC 方法计算隐式方程所围成的面积

问题：隐式方程(x²＋y²－1)³=x²y³，使用蒙特卡罗法计算图形面积
，此问题难点在于如何判断随机产生的点是否处于图形内，需要求解隐式方程
(如何使用数值积分方法计算图形面积？)
求解方程比较耗时，如何加速计算?
我的思路是先用蒙特卡罗法，再用龙格库塔法和欧拉法求解微分方程
最好能写代码出来给我就好啦

来自NewBing和LP的编写：

这是一个有趣的问题。蒙特卡洛方法可以用来计算复杂图形的面积，特别是对于那些不易求解的隐式方程定义的图形。以下是一种可能的解决方案：

对于这个问题，我们可以先确定一个包含该图形的已知面积的区域，例如一个矩形。然后，我们在这个区域内随机生成点，并检查每个点是否满足给定的隐式方程。如果满足，我们就认为这个点在图形内。通过这种方式，我们可以估计图形的面积。

img

以下是一个简单的 MATLAB 实现

% 定义隐式方程
f = @(x,y) (x.^2 + y.^2 - 1).^3 - x.^2 .* y.^3;

% 设置区域边界和点的数量
x_min = -1; x_max = 1;
y_min = -1; y_max = 1;
N = 1000000; % 1百万点

% 生成随机点
x_rand = x_min + (x_max - x_min) .* rand(N, 1);
y_rand = y_min + (y_max - y_min) .* rand(N, 1);

% 判断点是否在图形内
in_figure = f(x_rand, y_rand) <= 0;

% 计算图形面积
area_rectangle = (x_max - x_min) * (y_max - y_min);
area_figure = area_rectangle * sum(in_figure) / N;

fprintf('Estimated area: %.4f\n', area_figure);

这段代码估计了满足 (x^2 + y^2 - 1)^3 = x^2 * y^3 这个隐式方程的图形的面积。注意，我们只考虑了方程左边减去右边的值小于等于0的点，因为我们假设这个隐式方程描述的图形是封闭的。

为了提高计算速度，我们可以尝试使用并行计算。MATLAB 提供了 parfor 语句，这是一种并行版本的 for 循环。但是，请注意，要使用并行计算，你的计算机需要有多个处理器核心，同时 MATLAB 的并行计算工具箱也需要安装。

你提到了龙格-库塔法和欧拉法，但这两种方法主要用于求解常微分方程，对于这个问题可能并不直接适用。

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

可以使用蒙特卡罗法来计算隐式方程所围成的面积，具体步骤如下：

  1. 定义一个正方形，包含隐式方程的图形，正方形的边长应该比图形的直径要大一些。

  2. 在正方形内随机生成一些点，数量越多越好。

  3. 对每个随机点，计算它是否在图形内。可以通过将随机点的坐标代入隐式方程，如果方程的值小于等于0，则该点在图形内。

  4. 统计图形内的点的数量，以及总点的数量。

  5. 用图形内的点的数量除以总点的数量，再乘以正方形的面积，即可得到图形的面积。

下面是MATLAB代码实现：

% 定义隐式方程
f = @(x,y) (x.^2 + y.^2 - 1).^3 - x.^2 .* y.^3;

% 定义正方形边长和随机点数量
L = 2;
N = 1000000;

% 生成随机点
x = unifrnd(-L/2, L/2, [N,1]);
y = unifrnd(-L/2, L/2, [N,1]);

% 计算随机点是否在图形内
in = f(x,y) <= 0;

% 统计图形内的点的数量
n_in = sum(in);

% 计算图形面积
A = L^2 * n_in / N;

如果需要加速计算，可以使用并行计算。将生成随机点和计算随机点是否在图形内的过程并行化，可以显著提高计算效率。下面是并行计算的MATLAB代码：

% 定义隐式方程
f = @(x,y) (x.^2 + y.^2 - 1).^3 - x.^2 .* y.^3;

% 定义正方形边长和随机点数量
L = 2;
N = 1000000;

% 生成随机点
x = unifrnd(-L/2, L/2, [N,1]);
y = unifrnd(-L/2, L/2, [N,1]);

% 并行计算随机点是否在图形内
in = zeros(N,1);
parfor i = 1:N
    in(i) = f(x(i),y(i)) <= 0;
end

% 统计图形内的点的数量
n_in = sum(in);

% 计算图形面积
A = L^2 * n_in / N;

该回答引用ChatGPT GPT-4

运行结果

img

解释：
首先，我们需要理解隐函数的概念。在此情况下，我们不能直接表示y=f(x)，所以我们需要使用数值方法来解决问题。

随后，我们使用蒙特卡罗法来估计函数的面积。蒙特卡罗法是一种使用随机样本的统计学方法，它可以被用于计算各种数学问题的近似解，包括定积分。

以下是如何在Matlab中实现的步骤：

1、定义隐式方程
2、生成随机点
3、计算落在图形内部的点的数量
4、使用蒙特卡罗法计算面积

代码

% 1. 定义隐式方程
implicitFun = @(x, y) (x.^2 + y.^2 - 1).^3 - x.^2 .* y.^3;

% 2. 定义范围及生成随机点
N = 1000000; % 随机点的数量
x_range = [-1.5, 1.5];
y_range = [-1.5, 1.5];
x = x_range(1) + (x_range(2) - x_range(1)) * rand(N, 1);
y = y_range(1) + (y_range(2) - y_range(1)) * rand(N, 1);

% 3. 计算落在图形内部的点的数量
inside = abs(implicitFun(x, y)) < 1e-3;
num_inside = sum(inside);

% 4. 使用蒙特卡罗法计算面积
area = num_inside / N * (x_range(2) - x_range(1)) * (y_range(2) - y_range(1));

disp('Estimated Area:')
disp(area)

回答:

首先，使用蒙特卡罗法计算隐函数方程围成的面积需要判断在随机产生的点是否在图形内，具体可以按照如下步骤进行：

Step 1: 在求解区域内随机产生大量的点，每一个点的x坐标和y坐标都是从一定区间内均匀地抽取的。

Step 2: 对每一个点进行判断，若该点满足隐函数方程，则记录该点，并统计满足条件的点数。

Step 3: 通过统计满足条件的点数以及总点数，计算隐函数方程围成的面积。

具体实现可以按照以下Matlab代码完成：

n = 1e6; % 随机点个数 xn = -1 + 2rand(n, 1); % 在[-1, 1]内随机生成x坐标 yn = -1 + 2rand(n, 1); % 在[-1, 1]内随机生成y坐标 count = 0; % 统计满足条件的点数 for i = 1:n if (xn(i)^2 + yn(i)^2 - 1)^3 - xn(i)^2yn(i)^3 < 0 % 判断该点是否在图形内部 count = count + 1; end end area = 4count/n; % 面积的估计值 disp(area);

其次，针对此问题，还可以使用其他数值积分方法计算图形面积。例如，可以使用辛普森积分法、梯形积分法、龙格库塔法等方法，具体选择哪种方法要根据问题情况和计算资源决定。

最后，可以通过并行计算等方式来加速计算，具体需要根据问题进行优化。下面是一个简单的示例，使用parfor来进行并行计算，以加速随机点数较多时的计算。

n = 1e7; % 随机点个数 xn = -1 + 2rand(n, 1); % 在[-1, 1]内随机生成x坐标 area = 0; % 面积 parfor i = 1:n yn = -1 + 2rand(1, 1); % 在[-1, 1]内随机生成y坐标 if (xn(i)^2 + yn^2 - 1)^3 - xn(i)^2*yn^3 < 0 % 判断该点是否在图形内部 area = area + 4/n; end end disp(area);

这里使用了parfor来进行循环处理，实现并行计算。在大量随机点时，可以提高计算速度。

完整代码可以参考以下链接：https://github.com/harryji825/matlab-monte-carlo