根据已有的ADMM图像处理公式推导FISTA的公式

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论文链接地址：https://github.com/yangyan92/Pytorch_ADMM-CSNet

ADMM和FISTA都是求解凸优化问题的算法，但是它们的形式不同，因此不能直接从ADMM的公式推导FISTA的公式。但是，我们可以从ADMM和FISTA的优化问题出发，推导出FISTA的公式。

ADMM的优化问题形式为：

$$\min_{x} f(x) + g(z)$$
$$s.t. \quad Ax + Bz = c$$

其中，$f(x)$和$g(z)$是两个凸函数，$x$和$z$是优化变量，$A$和$B$是矩阵，$c$是向量。ADMM的迭代公式为：

$$x^{k+1} = \arg\min_{x} \left{ f(x) + \frac{\rho}{2} |Ax + Bz^k - c + u^k|2^2 \right}$$
$$z^{k+1} = \arg\min{z} \left{ g(z) + \frac{\rho}{2} |Ax^{k+1} + Bz - c + u^k|_2^2 \right}$$
$$u^{k+1} = u^k + Ax^{k+1} + Bz^{k+1} - c$$

其中，$\rho$是一个正则化参数，$u$是拉格朗日乘子。我们可以将这个问题转化为：

$$\min_{x,z} f(x) + g(z) + \frac{\rho}{2} |Ax + Bz - c|_2^2$$

对于FISTA，我们考虑以下优化问题：

$$\min_x f(x)$$

其中，$f(x)$是一个凸函数。我们的目标是加速求解该问题。FISTA的迭代公式为：

$$y^{k+1} = x^k + \frac{k}{k+3}(x^k - x^{k-1})$$
$$x^{k+1} = \text{prox}_{\lambda f}(y^{k+1})$$

其中，$y$是一个辅助变量，$\lambda$是一个正则化参数，$\text{prox}_{\lambda f}(y)$是一个近端算子，它的定义为：

$$\text{prox}_{\lambda f}(y) = \arg\min_x \left{ f(x) + \frac{1}{2\lambda} |x - y|_2^2 \right}$$

我们可以将这个问题写成：

$$\min_{x,z} f(x) + g(z)$$
$$s.t. \quad x - z = 0$$

对于这个问题，我们可以使用ADMM算法求解。令$B = I$，$A = -I$，$c = 0$，则可以得到以下迭代公式：

$$x^{k+1} = \text{prox}{\lambda f}\left( z^k - u^k \right)$$
$$z^{k+1} = \text{prox}{\lambda g}\left( x^{k+1} + u^k \right)$$
$$u^{k+1} = u^

该回答通过自己思路及引用到GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ搜索,得到内容具体如下：
根据已有的ADMM图像处理公式推导FISTA的公式，可以分为以下几个步骤：

1、 推导ADMM公式

首先，ADMM图像处理的公式：

$$
\min_{x} \ \frac{1}{2} | y - Ax |_2^2 + \lambda | x |_1 \
\text{s.t.} \ x = z, \ Dz = w
$$

其中，$y$是观测值，$A$是观测矩阵，$x$是待重建的图像，$z$是辅助变量，$w$是拉格朗日乘子，$D$是差分算子，$\lambda$是正则化参数。

根据ADMM的迭代公式，可以将上述问题转化为以下形式：

$$
\begin{aligned}
x^{k+1} &= \arg\min_x \ \frac{1}{2} | y - Ax |_2^2 + \frac{\rho}{2} | x - z^k + w^k / \rho |_2^2 \
z^{k+1} &= \arg\min_z \ \lambda | z |_1 + \frac{\rho}{2} | Dz - x^{k+1} - w^k / \rho |_2^2 \
w^{k+1} &= w^k + \rho (Dz^{k+1} - x^{k+1})
\end{aligned}
$$

其中，$\rho$是一个正则化参数。

2、 推导FISTA公式

接下来，我们根据ADMM公式推导FISTA公式。FISTA是一种加速迭代算法，可以加速求解L1正则化问题。

首先，我们将ADMM公式改写为以下形式：

$$
\begin{aligned}
x^{k+1} &= \arg\min_x \ f(x) + \frac{\rho}{2} | x - z^k + w^k / \rho |_2^2 \
z^{k+1} &= \arg\min_z \ g(z) + \frac{\rho}{2} | Dz - x^{k+1} - w^k / \rho |_2^2 \
w^{k+1} &= w^k + \rho (Dz^{k+1} - x^{k+1})
\end{aligned}
$$

其中，$f(x) = \frac{1}{2} | y - Ax |_2^2$，$g(z) = \lambda | z |_1$。

FISTA的迭代公式如下：

$$
\begin{aligned}
y^{k+1} &= x^k + \frac{k}{k+3} (x^k - x^{k-1}) \
x^{k+1} &= \arg\min_x \ f(x) + \frac{\rho}{2} | x - y^{k+1} + w^k / \rho |_2^2
\end{aligned}
$$

其中，$y^k$是一个中间变量，$k$是迭代步数。可以将FISTA的迭代公式与ADMM的迭代公式进行比较，可以发现它们的主要区别在于$x$的更新步骤不同，FISTA使用了一种加速方法。

3、 将FISTA公式应用于图像处理

最后，将FISTA公式应用于图像处理，可以得到以下形式：

$$
\begin{aligned}
y^{k+1} &= x^k + \frac{k}{k+3} (x^k - x^{k-1}) \
x^{k+1} &= \text{prox}_{\frac{\rho}{L}}(x^k - \frac{1}{L} \nabla f(x^k - w^k / \rho)) \
w^{k+1} &= w^k + \rho (Dz^{k+1} - x^{k+1})
\end{aligned}
$$

其中，$\text{prox}_{\frac{\rho}{L}}$表示L1正则化的投影算子，$L$是Lipschitz常数，$\nabla f$是$f$的梯度。

需要注意的是，FISTA的收敛速度比ADMM更快，但实现起来更加复杂，需要选择合适的步长和参数。

希望以上内容对您有所帮助。

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该回答引用ChatGPT
根据已有的ADMM图像处理公式推导FISTA的公式，可以按照以下步骤操作：

  1. ADMM图像处理公式：

    $\min_{x} \frac{1}{2}\left|y - Ax\right|^{2}{2} + \lambda\left |x\right |{1}$

    $\min_{x,z} \frac{1}{2}\left|y - Ax\right|^{2}{2} + \lambda\left |z\right |{1} ; \text{s.t.} ; z = x$

    $x^{k+1} = \operatorname{argmin}{x} \frac{1}{2}\left|y - Ax\right|^{2}{2} + \frac{\rho}{2}\left|x - z^{k} + u^{k}\right|^{2}_{2}$

    $z^{k+1} = \operatorname{argmin}{z} \lambda\left |z\right |{1} + \frac{\rho}{2}\left|x^{k+1} - z + u^{k}\right|^{2}_{2}$

    $u^{k+1} = u^{k} + x^{k+1} - z^{k+1}$

其中，$x$是要求解的图像，$y$是输入的图像，$A$是图像的矩阵，$\rho$是惩罚因子，$\lambda$是系数，$z$是辅助变量，$u$是拉格朗日乘子。

  1. FISTA公式：

    $\min_{x} \frac{1}{2}\left|y - Ax\right|^{2}{2} + \lambda\left |x\right |{1}$

    $f(x) = \frac{1}{2}\left|y - Ax\right|^{2}{2}$，$g(x) = \lambda\left |x\right |{1}$

    $y^{k+1} = x^{k} + \frac{k-1}{k+2}\left(x^{k} - x^{k-1}\right)$

    $x^{k+1} = \operatorname{argmin}{x}f(x^{k}) + g\left(x\right) + \frac{k}{2\rho}\left|x - y^{k+1}\right|^{2}{2}$

其中，$x$是要求解的图像，$y$是辅助变量，$k$是迭代次数，$\rho$是步长，$f(x)$是目标函数的第一个部分，$g(x)$是目标函数的第二个部分。

根据以上公式，可以将ADMM形式转换为FISTA形式。FISTA相对于ADMM来说，更加高效。具体代码实现如下：

python
import numpy as np
import cvxpy as cp
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成随机矩阵A和向量y
m, n = 500, 200
A = np.random.randn(m, n)
x_true = np.zeros(n)
x_true[:3] = [1, -1, 0.5]
y = A.dot(x_true) + np.random.randn(m)

# 对FISTA进行求解
lam = 0.1
rho = 1
f = lambda x: 0.5 * np.linalg.norm(y - A @ x, 2) ** 2
g = lambda x: lam * np.linalg.norm(x, 1)
L = np.linalg.eigvals(A.T @ A).max()
x0 = np.zeros(n)
y0 = np.zeros(n)
t0 = 1
max_iter = 500
x_list = []
for i in range(max_iter):
    y1 = x0 - 1/L * A.T @ (A @ x0 - y)
    x1 = np.sign(y1) * np.fmax(np.abs(y1) - lam/rho, 0)
    t1 = 0.5 * (1 + np.sqrt(1 + 4 * t0 ** 2))
    y0 = x1 + (t0 - 1) / t1 * (x1 - x0)
    x0 = x1
    t0 = t1
    obj_val = f(x0) + g(x0)
    x_list.append(obj_val)
    
# 绘制结果
plt.plot(x_true, label='True x')
plt.plot(x_list[-1], label='FISTA')
plt.legend()
plt.show()