积分中值定理证明不等式的困惑

用柯西定理，存在c，使得等式成立
算出右边式子的最大值，得证。
可是等式并不是恒成立的，为什么可以这么等价？太困惑了

什么叫不是恒成立的
c的取值范围是(0,x)，可是并没有规定x的取值范围呀，x可以取(-∞，∞)

确实迷惑