切比雪夫配点法 解四阶微分方程

关于四阶矩阵在边界条件u(正负1)=0=u'(正负1)=0时，设了p(x)=(1-x^2)q(x)，想问下边界条件变成u(正负1)=0=u''(正负1)=0,该如何构造呢

对于边界条件$U(\pm1)=0$，可以使用Chebyshev多项式来构造在边界处满足该条件的函数。具体来说，令$T_n(x)$表示Chebyshev多项式，定义如下：

$$
T_0(x) = 1 \
T_1(x) = x \
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)
$$

可以证明，$T_n(x)$在$x\in[-1,1]$上是正交的，并且满足$T_n(-1)=(-1)^n$和$T_n(1)=1$。因此，在边界处，$U(\pm1)=0$可以用Chebyshev多项式的性质来表示：

$$
U(\pm1) = \sum _{n=0}^\infty a_n T_n(\pm1) = a_0(-1)^n + a_1(\pm1) + a_2(\pm1)^2 + ... + a_n(\pm1)^n = 0
$$

为了满足这个条件，可以将$U(x)$表示为$T_n(x)$的线性组合：

$$
U(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n T_n(x)
$$

然后令$a_0=0$，$a_1=0$，$a_{n+2}=-\frac{2}{\pi(n+2)(n+1)}$，就可以满足边界条件并且保证$U(x)$是二次可微的，即$U''(\pm1)=0$。注意需要截取有限项进行计算。

因此，针对本问题，可以使用Chebyshev多项式来构造在边界处满足$U(\pm1)=0$和$U''(\pm1)=0$的函数。例如：

import numpy as np

def chebyshev_boundary(n, x):
    # 计算Chebyshev多项式的值
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_boundar y(n - 1, x) - chebyshev_boundary(n - 2, x)
    
def u(x):
    # 构造在边界处满足U(±1)=0和U''(±1)=0的函数
    n_max = 50
    u = np.zeros_like(x)
    for n in range(2, n_max):
        a = -2 / (np.pi * (n + 1) * n)
        u += a * chebyshev_boundary(n, x)
    return u

其中chebyshev_bound ary(n, x)函数用于计算$n$次Chebyshev多项式在$x$处的值，u(x)函数用于构造在边界处满足$U(\pm1)=0$和$U''(\pm1)=0$的函数。
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