高等代数 判断对错，矩阵问题

“设 A 、 B 均为 n 阶负定矩阵，则 AB 仍是负定矩阵。”
这句话是对的还是错的？并说明原因

错误。AB不一定是负定矩阵，因为矩阵乘法不满足交换律，因此AB的结果可能不满足负定矩阵的条件。
如果是A+B，那么也是负定矩阵

不成立，举个例子A=B=-E是负定的，而AB=E是正定的。

不对呀！有可能矩阵A和矩阵B都是负的，但是相乘后却变成正的啦！

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
这句话是错误的。

负定矩阵是指对于任意非零向量x，x的转置乘以该矩阵A乘以向量x的结果为负数。即x^T * A * x < 0。

由于A和B都是n阶负定矩阵，则对于任意非零向量x，有x^T * A * x < 0和x^T * B * x < 0。因此，如果AB是负定矩阵，那么对于任意非零向量x，有x^T * AB * x < 0。

但是，x^T * AB * x = (x^T * A) * (B * x)，其中x^T * A和B * x都是向量，不一定是负数。因此，只有当x^T * A和B * x同时为负数时，x^T * AB * x才是负数，即AB才是负定矩阵。但是，由于A和B都是负定矩阵，所以x^T * A和B * x不可能同时为负数，因此AB不一定是负定矩阵，所以该命题是错误的。