凸优化二次等式约束消除

这个问题该如何求解，不会将二次等式约束消去，转化成凸优化问题

将原问题转化为等价的凸优化问题：

minimize cT'x

subject to ||x||2 = 1

等价于：

minimize cT'x

subject to ||x||22 ≤ 1

KKT条件为：

Stationarity:
∇L(x,λ) = ∇(cT'x - λ(xT x - 1)) = 0

c - 2λx = 0

Primal feasibility:
xT x = 1

Dual feasibility:
λ ≥ 0

Complementary slackness:
λ(||x||2 - 1) = 0

根据KKT条件求解最优解的表达式：

因为c≠0，所以有2λx=c，即x=c/2λ

将x代入xT x = 1得到||c/2λ||22 = 1，即λ=±||c||/2

当λ=||c||/2时，有x=c/||c||，此时目标函数最小值为cT(x=c/||c||) = ||c||。

当λ=-||c||/2时，有x=-c/||c||，此时目标函数最小值为cT(x=-c/||c||) = -||c||。

因此，当c>0时，最优解为x=c/||c||，目标函数最小值为||c||；当c<0时，最优解为x=-c/||c||，目标函数最小值为-||c||。

• 你可以看下这个问题的回答https://ask.csdn.net/questions/7532697

参考GPT和自己的思路，这个问题可以通过拉格朗日乘子法将等式约束消去，得到如下的拉格朗日函数：

L(x, λ) = c^Tx + λ(x^Tx - 1)

其中，λ为拉格朗日乘子。接着，我们可以通过求解原问题的 KKT 条件来得到最优解。

KKT 条件：

x^Tx = 1
∇L(x, λ) = c + 2λx = 0
λ(x^Tx - 1) = 0
由于原问题是凸优化问题，因此满足强对偶性，即原问题的最优解等价于对偶问题的最优解。对偶问题可以通过拉格朗日对偶转化得到，即：

maximize L_D(λ) = inf_x L(x, λ)
subject to λ ≥ 0

将拉格朗日函数带入到对偶函数中：

L_D(λ) = inf_x (c^Tx + λ(x^Tx - 1))

令 ∇L(x, λ) = 0，可以得到 x = -(1/2λ)c。将其代入到原问题中，可以得到最优解为：

x* = -(1/2λ*)c

下面是用 MATLAB 实现的简单代码示例：

% 原问题数据
c = [1; 2; 3];
Aeq = eye(3);
beq = 1;

% 构造拉格朗日函数
fun = @(x,lambda) c'*x + lambda*(x'*x - 1);

% 求解对偶问题
[lambda_star,~,exitflag] = fmincon(@(lambda) -fun(-(1/(2*lambda))*c,lambda), 0, [], [], [], [], 0, [], [], optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point','Display','off'));

if exitflag <= 0
    disp('求解失败');
else
    % 计算最优解
    x_star = -(1/(2*lambda_star))*c;
    disp(['最优解为：x = [', num2str(x_star'), ']']);
end

注意：这个代码示例是基于 MATLAB 中的 fmincon 函数实现的，采用的是内点法求解。

该回答引用ChatGPT

将原问题中的约束条件 $x'x=1$ 转化为不等式约束 $x'x\leq 1$，得到等价的优化问题：

$$\min_{x\in\mathbb{R}^n} \ 0^Tx\quad \text{s.t.} \ x'x\leq 1 $$

其中 $0$ 是 $n$ 维全零向量。

由于目标函数为常数，因此上述问题的最小值为 $0$。

现在考虑转化后的优化问题的 KKT 条件。首先写出拉格朗日函数：

$$L(x,\lambda)=0^Tx + \lambda (1-x'x) $$

其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。根据 KKT 条件，最优解必须满足以下条件：

1、原问题的约束条件必须满足，即 $x'x=1$。

2、拉格朗日函数对 $x$ 的导数为 $0$，即 $\nabla_x L(x,\lambda) = 0$：
$$\nabla_x L(x,\lambda) = 0 + (-2\lambda x) = -2\lambda x = 0$$
因此有 $x=0$ 或者 $\lambda=0$，但由于原问题的约束条件 $x'x=1$，因此只能有 $\lambda\neq 0$，从而得到 $x=0$。

3、拉格朗日函数对 $\lambda$ 的导数为 $0$，即 $\nabla_\lambda L(x,\lambda) = x'x-1=0$，即原问题的约束条件。
对偶互补条件，即 $\lambda (x'x-1)=0$。

综上所述，最优解为 $x=0$，$\lambda\neq 0$，满足原问题的约束条件 $x'x=1$，对应的拉格朗日乘子为任意非零常数 $\lambda$。

python 实现代码：

import cvxpy as cp
import numpy as np

# 定义变量和约束
n = 2
x = cp.Variable(n)
constraints = [x.T @ x <= 1]

# 定义目标函数
obj = cp.Minimize(0.T @ x)

# 构建问题并求解
prob = cp.Problem(obj, constraints)
prob.solve()

# 输出结果
print("最优解 x：", x.value)
print("最优解的目标函数值：", prob.value)

matlab实现代码

% 定义问题参数
n = 2;

% 定义变量和约束
x = cvx(zeros(n,1));
constraints = [x'*x <= 1];

% 定义目标函数
obj = 0'*x;

% 求解问题
cvx_begin
    minimize(obj)
    subject to
        constraints
cvx_end

% 输出结果
disp(['最优解 x：' num2str(x')]);
disp(['最优解的目标函数值：' num2str(cvx_optval)]);

消除凸二次等式约束的方法通常是将其转化为凸二次不等式约束的形式。下面给出一种基本的方法来进行转化：
假设我们有一个二次等式约束：$x^T Q x + b^T x + c = 0$，其中$Q$是一个对称矩阵，$b$是一个列向量，$c$是一个标量。
为了将其转化为不等式约束的形式，我们可以引入一个新的变量$t$，并将等式约束改写为：
$$ x^T Q x + b^T x + c = -t^2 $$
这样，我们就将等式约束转化为了不等式约束。接下来，我们可以将其分解为两个不等式约束：
$$ x^T Q x + b^T x + c \leq -t^2 $$
$$ x^T Q x + b^T x + c \geq -t^2 $$
将上述不等式约束转化为凸约束的方法因问题而异，但通常可以使用拉格朗日对偶等方法来进行求解。以第一个不等式约束为例，我们可以引入拉格朗日乘子$\lambda \geq 0$，并构建拉格朗日函数：
$$ L(x, t, \lambda) = x^T Q x + b^T x + c + \lambda (x^T Q x + b^T x + c + t^2) $$
接下来，我们可以对$L(x, t, \lambda)$进行极小化，得到其对偶函数：
$$ g(\lambda) = \inf_{x,t} L(x, t, \lambda) $$
最后，我们可以使用求解凸二次规划的方法来求解对偶函数$g(\lambda)$的最大值，从而得到原问题的最优解。需要注意的是，由于上述方法仅适用于等式约束为凸二次函数的情况，因此在实际应用中需要进行问题分析和求解算法的选择。

消除凸二次等式约束的方法通常是将其转化为凸二次不等式约束的形式。下面给出一种基本的方法来进行转化：
假设我们有一个二次等式约束：$x^T Q x + b^T x + c = 0$，其中$Q$是一个对称矩阵，$b$是一个列向量，$c$是一个标量。
为了将其转化为不等式约束的形式，我们可以引入一个新的变量$t$，并将等式约束改写为：

xTQx+bTx+c=−t2

这样，我们就将等式约束转化为了不等式约束。接下来，我们可以将其分解为两个不等式约束：

xTQx+bTx+c≤−t2
xTQx+bTx+c≥−t2