高等代数北师大第四版课后习题

如果把n阶实对称矩阵按合同分类，即两个n阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类

该回答内容部分引用GPT，GPT_Pro更好的解决问题
n阶实对称钼阵是指n x n的方阵，且每一行和每一列的数据都一样。当把n阶实对称钼阵按合同分类时，就是把所有n阶实对称钼阵进行分类，且属于同一类的实对称钼阵要满足合同条件。

具体来说，就是对每一类实对称钼阵，要求各个元素之间满足以下条件：如果元素 a[i][j] 和 a[m][n] 是同一类实对称钼阵的元素，那么a[i][j] 与 a[m][n] 满足 a[i][j] = a[m][n] 。

因此，要计算出n阶实对称钼阵的总类数，就需要遍历所有可能的情况，即遍历所有可能的实对称钼阵。具体的代码如下：

int count=0; //用于计数总的类数
for (int i=0; i<n; i++) {  //遍历n×n方阵中的每一行
    for (int j=0; j<n; j++) { //遍历每一行中的每一个元素
        for (int m=0; m<n; m++) { //遍历n×n方阵中的每一列
            for (int n=0; n<n; n++) { //遍历每一列中的每一个元素
                if (i==m && j==n) { //若此处元素a[i][j]与a[m][n]处元素相同，则可跳过本次循环
                    continue;
                }
                else { //若此处元素a[i][j]与a[m][n]处元素不同，则做如下判断
                    if (a[i][j] != a[m][n]) { //若a[i][j]不等于a[m][n]，则该实对称钼阵不属于合同，跳出本层循环，重新开始新的循环
                        break;
                    }
                    else if (m==(n-1)) { //若本行最后一个元素a[m][n]与a[i][j]相等，则该实对称钼阵属于合同，故把总数+1
                        count++;
                    }
                }
            }
        }
    }
}

由此可以得出：当n 阶实对称钼阵按合同分类时，共有count 类。
如果回答有帮助，望采纳。

实对称矩阵的合同分类定理，任何一个 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 都合同于对角矩阵 $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k)$，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 是 $A$ 的互不相同的特征值，$k$ 是 $A$ 的不同特征值的个数，且对于每个特征值 $\lambda_i$，其在 $A$ 中对应的特征子空间的维数等于其在 $\Lambda$ 中出现的次数。

因此，两个 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同的充要条件是它们具有相同的特征值和每个特征值对应的特征子空间的维数相同。

假设 $A$ 有 $k$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$，且对于每个特征值 $\lambda_i$，其在 $A$ 中对应的特征子空间的维数分别为 $m_1,m_2,\ldots,m_k$。则可以构造一个 $k\times n$ 的矩阵 $P$，其中第 $i$ 行是特征值 $\lambda_i$ 对应的特征向量构成的一组基，使得 $P^TAP=\Lambda$。

由于 $P$ 的列向量是 $A$ 的特征向量，因此它们线性无关。又因为 $A$ 是实对称矩阵，所以其特征向量构成的基可以正交化。因此可以选择 $P$ 使得 $P^TP=I$，即 $P$ 是正交矩阵。因此，$A$ 和 $B$ 合同的充要条件可以转化为存在正交矩阵 $P$，使得 $P^TAP$ 和 $P^TBP$ 具有相同的特征值和相同的特征子空间的维数。

因此，实对称矩阵按合同分类的个数等于不同特征值的个数和每个特征值对应的特征子空间的维数的乘积的所有可能的组合数

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其中，$n_i$ 是 $A$ 中特征值 $\lambda_i$ 对应的特征子空间的维数。注意到 $n_1+n_2+\cdots+n_k=n$，因此上式可以写成

img


其中，$m_0=0$，$m_k=n$。所以，实对称