高等代数第五版北大编课后题

怎么证明秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的堆成矩阵之和

该回答内容部分引用GPT，GPT_Pro更好的解决问题
证明秩等于n的对称矩阵可以分解成n个秩等于1的堆叠矩阵之和，首先要明确几个概念：

秩：指的是一个矩阵的线性无关行的最大数量。如果一个矩阵的线性无关行数是n，则其秩就是n。
对称矩阵：定义为一个矩阵A，当A的转置矩阵A'=A时，A就是一个对称矩阵。
堆叠矩阵：定义为将两个或多个同型的矩阵进行堆叠，即将上部分的矩阵行拼接在下部分的矩阵行之后而形成一个新的矩阵。

根据定义，对于一个秩为n的对称矩阵A来说，其转置矩阵A'=A, 所以A及其转置A'都由n个无关行构成，即A和A'都是n元的，因此证明这一定理可以采用凯莱法则。凯莱法则提出：如果一个nn的对称矩阵可以分解成n个11的单位对角阵和n-1个22的对角阵之和（此处所提出的对角阵不一定都是单位对角阵和22对角阵）。

假设A是一个nn的对称矩阵，其中有m行相同的数字。将A分解成m个22、(n-m) 个11的对角阵之和。如果在这m行中存在相同的数字（即m>1），则将这m行中所有的数字都合并成一行并将其分解成一个22的对角阵。例如：

A = 
[a,b,c,d]
[b,a,d,c]
[c,d,a,b]
[d,c,b,a]

可以将其分解成4个1*1的单位对角阵之和：

A = 
[a,0,0,0] + [0,b,0,0] + [0,0,c,0] + [0,0,0,d]

由于A本身就是对称矩阵，所以任何一行都可以当作最上一行来处理；因此只要将前m行看作最上m行处理即可。由此可得出证明：任何一个nn的对称矩阵都可以分解成n个11的单位对角阵之和。由此得出本文要证明的定理。
如果回答有帮助，望采纳。

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
设$A$为秩等于$r$的对称矩阵，$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_r$为$A$的$r$个线性无关的列向量。
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由于$A$是对称矩阵，所以$A$的列向量必须是线性无关的，否则存在$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$使得$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，因为$A$是对称矩阵，所以$\mathbf{x}^\mathrm{T}A\mathbf{x}=0$，但$\mathbf{x}^\mathrm{T}A\mathbf{x}=\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{0}=0$，这与$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$矛盾，所以$A$的列向量线性无关。
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由于$\mathrm{rank}(A)=r$，所以$A$的列向量可以通过$r$个列向量线性组合得到。设$\mathbf{u}_i$表示$\mathbf{a}_i$的单位向量，即$\mathbf{u}i=\dfrac{\mathbf{a}i}{|\mathbf{a}i|}$，则对于任意的$j=1,2,\cdots,r$，存在标量$c{j,1},c{j,2},\cdots,c{j,r}$，使得$\mathbf{a}j=c{j,1}\mathbf{u}1+c{j,2}\mathbf{u}2+\cdots+c{j,r}\mathbf{u}_r$。
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现在定义矩阵$B=[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_r]$，则$B$是一个$r$阶正交矩阵，因为$\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}r$是单位向量，且互相正交。进一步有$B^\mathrm{T}B=I_r$，其中$I_r$是$r$阶单位矩阵。
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考虑将$A$表示为$r$个秩等于1的堆成矩阵之和，即$A=\sum{i=1}^r \mathbf{a}_i \mathbf{a}i^\mathrm{T}$，将$\mathbf{a}i$用$B$表示，则有
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$$\mathbf{a}i=B\mathbf{u}i|\mathbf{a}i|=B\mathbf{u}i^\mathrm{T}\mathbf{a}i=B\begin{pmatrix}c{i,1}\c{i,2}\vdots\c{i,r}\end{pmatrix}$$
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因此，$A$可以表示为c{i,r}\end{pmatrix}(B\begin{pmatrix}c{i,1}&c{i,2}&\cdots&c{i,r}\end{pmatrix})$$
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由于$B^\mathrm{T}B=I_r$，所以

$$B\begin{pmatrix}c_{i,1}&c_{i,2}&\cdots&c_{i,r}\end{pmatrix}=(B\begin{pmatrix}c_{i,1}\c_{i,2}\vdots\c_{i,r}\end{pmatrix})^\mathrm{T}= \begin{pmatrix}c_{i,1}\c_{i,2}\vdots\c_{i,r}\end{pmatrix}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}c_{i,1}&c_{i,2}&\cdots&c_{i,r}\end{pmatrix}$$

因此，$A$可以表示为$r$个秩等于1的堆成矩阵之和，即

$$A=\sum_{i=1}^r \mathbf{a}i \mathbf{a}i^\mathrm{T}=\sum{i=1}^r B\begin{pmatrix}c{i,1}\c_{i,2}\vdots\c_{i,r}\end{pmatrix}(B\begin{pmatrix}c_{i,1}&c_{i,2}&\cdots&c_{i,r}\end{pmatrix})=B\left(\sum_{i=1}^r \begin{pmatrix}c_{i,1}\c_{i,2}\vdots\c_{i,r}\end{pmatrix}( \begin{pmatrix}c_{i,1}&c_{i,2}&\cdots&c_{i,r}\end{pmatrix})\right)B^\mathrm{T}$$

因此，$A$可以表示为$r$个秩等于1的堆成矩阵之和，其中第$i$个堆成矩阵为$\mathbf{a}_i \mathbf{a}_i^\mathrm{T}$，其秩为1。而且，可以使用矩阵$B$将$r$个堆成矩阵的系数矩阵堆成一个$r \times r$的矩阵，即

$$\sum_{i=1}^r \begin{pmatrix}c_{i,1}\c_{i,2}\vdots\c_{i,r}\end{pmatrix}( \begin{pmatrix}c_{i,1}&c_{i,2}&\cdots&c_{i,r}\end{pmatrix})$$

因为$A$是对称矩阵，所以这个$r \times r$的系数矩阵是对称矩阵。由于$B$是正交矩阵，所以$B^\mathrm{T}B=I_r$，因此，可以使用$B$和$B^\mathrm{T}$将这个系数矩阵表示为$B$与其转置的乘积。