使用mathematica求解含参最优化

问题背景

效用最大化理论模型，非线性有约束规划，函数中有多个参数（如图）

遇到的问题

我的目的是求出均衡解t，它是c、α、β等等参数的函数，然后再进一步看t随c、α的变化，其他无关的参数ρ、m、n做多次赋值处理，看看结果有何变化

目前用mathematica把目标函数敲出来报错说

需求

请问应该怎么写这个代码呢，我想要求出一个t的表达式然后每一次将ρ、m、n赋不同的值来作t*随c、α的变化图

请指教

参考GPT和自己的思路，首先，你的目标函数中似乎缺少一些参数，比如变量c、α、β等的定义，你需要将它们在目标函数中进行定义。此外，在使用NMaximize函数时，需要提供初始值来指导搜索的起点，以便更快地找到最优解。

根据您提供的信息，我看到有几个语法错误，包括：

目标函数的开头没有左括号，需要在开头加上左括号。

此外，您也需要指定一些参数的具体值，包括 "V"、"m"、"n"、"a"、"c"、"p" 和 "I"，否则无法进行求解。

根据您的需求，以下是一种可能的 Mathematica 代码，其中我将 "V"、"m"、"n"、"a"、"c"、"p" 和 "I" 的值都设定为了 1：

V = 1;
m = 1;
n = 1;
a = 1;
b = 1;
r = 1;
o = 1;
c = 1;
p = 1;
I = 1;
NMaximize[{(V - m*(a*c + (1 - a)*b*c) - n*c)*t^p + x^p, p1*t + p2*x + p3*c <= I, V - m*(a*c + (1 - a)*b*o) - n*c > 0, t > 0, x > 0}, {t, x}]

请注意，这只是一种可能的代码，具体代码实现还需要您根据实际情况进行调整和修改。此外，由于您的目标函数和约束条件中涉及到多个参数，所以可能需要进行多次求解和绘图，才能完整地展现出 t 与 c、α 的关系。

以下是一个可能适用于你的模型的代码示例（需要根据你的具体模型进行适当修改）：

Cs[c_, α_, β_, co_, ac_, bro_, v_] := ac + (1 - α) (β c + (1 - β) co);
c1[c_, v_] := v c;
U[t_, x_, c_, p_, V_, m_, n_, Cs_, co_, ac_, α_, β_, v_] := ((V - m*Cs[c, α, β, co, ac, bro, v] - n*c) t^p + x^p)^(1/p);
eqn = {V - m*Cs[c, α, β, co, ac, bro, v] - n*c > 0, p1*t + p2*x + p3*c <= I, t > 0, x > 0, c > 0};
NMaximize[{U[t, x, c, p, V, m, n, Cs, co, ac, α, β, v], eqn}, {t, x, c}]

你可以将上述代码中的参数ρ、m、n设置为常量，然后使用Table函数来生成一系列t随c、α变化的数据点，最后用ListPlot函数绘制出相应的图形。

ρ = ...;
m = ...;
n = ...;
data = Table[{c, α, t /. NMaximize[{U[t, x, c, p, V, m, n, Cs, co, ac, α, β, v], eqn}, {t, x, c}]}, {c, cmin, cmax, cstep}, {α, amin, amax, astep}];
ListPlot3D[Flatten[data, 1]]

如果对您有帮助，请给与采纳，谢谢。

以下答案基于ChatGPT与GISer Liu编写：
1.根据您提供的目标函数，我们可以使用NMaximize进行求解。但是您在代码中有一些语法错误，包括没有定义变量ac、bro，以及缺少一些约束条件。以下是可能符合您需求的代码：

ClearAll["Global`*"]  (* 清除所有全局变量 *)

(* 定义变量 *)
ac = 1.5; 
bro = 1.2; 
m = 2; 
nc = 0.5;
p = 0.5; 
ρ = 0.5; 
α = 0.3; 
β = 0.2;
V = 10; 
ms = 1; 
C = 5;

(* 定义目标函数 *)
f[t_, x_] := ((V - m (ac + (1 - a) bro) - nc) t^p + x^p)^(1/p)

(* 最大化目标函数 *)
NMaximize[{f[t, x], V - ms - nc > 0, t > 0, x > 0, 0 < p < 1, 
  0 <= a <= 1, 0 <= b <= 1, 0 < r < 1, 0 < ρ < 1, 0 < c, 
  t == t /. 
    FindRoot[{D[f[t, x], t] == 0}, {t, 1}], (* 求解 t 的表达式 *)
  x == x /. FindRoot[{D[f[t, x], x] == 0}, {x, 1}]}
 , {t, x}]

在代码中，我们定义了变量ac和bro，并将它们代入目标函数中。我们还定义了目标函数f[t,x]，并在最大化过程中使用了t和x作为变量，通过求解t的表达式来消去t的影响，从而简化了目标函数。

2.另外，您提到需要将t表示为ρ、m、n、c、α的函数并绘制出t随c、α的变化图。我们可以使用ContourPlot函数来实现这个目标。以下是可能符合您需求的代码：

ClearAll["Global`*"]  (* 清除所有全局变量 *)

(* 定义变量 *)
ac = 1.5; 
bro = 1.2; 
m = 2; 
nc = 0.5;
p = 0.5; 
ρ = 0.5; 
α = 0.3; 
β = 0.2;
V = 10; 
ms = 1; 

(* 定义目标函数 *)
f[t_, x_] := ((V - m (ac + (1 - a) bro) - nc) t^p + x^p)^(1/p)

(* 求解 t 的表达式 *)
tExpr = t /. 
  FindRoot[{D[f[t, x], t] == 0}, {t, 1}]

(* 绘制 t 随 c、α 的变化图 *)
ContourPlot[tExpr /. {ρ ->

ClearAll["Global`*"]
f[c_, t_, α_, β_, ρ_, m_, n_] := 
 2 c (1 - t)^2 (1 - α t^2)^2 - β (1 - t) + 
 2 ρ c (1 - t) (1 - α t^2) (1 - α t^2 - (1 - α) t^2) - 
 2 (1 - ρ) c (1 - t) (1 - α t^2) (1 - (1 - α) t^2);
cons = 0 <= t <= 1;
sol = Maximize[{f[c, t, α, β, ρ, m, n], cons}, t]
t = t /. Last[sol]

Plot3D[t, {c, 0.1, 1}, {α, 0.1, 1}, 
 AxesLabel -> {"c", "α", "t"}, Mesh -> None]

data = {};
Table[
 AppendTo[data, {c, α, t /. Last[Maximize[{f[c, t, α, β, ρ, m, n], cons}, t]]}],
 {c, 0.1, 1, 0.1},
 {α, 0.1, 1, 0.1}
]
Export["data.xls", data]

该回答引用ChatGPT
使用Mathematica可以使用内置的函数来求解含参最优化问题，例如NMaximize、NMinimize等函数。此外，您还可以使用Mathematica的Optimization Package来求解含参最优化问题，该包提供了一系列的优化算法，可以帮助您解决含参最优化问题。