用matlab计算定积分exp（-x^2)在1到100的自适应积分方法，设计一种自适应辛普森积分方法计算，要求能自动控制误
差
f = @(x) exp(-x.^2);
a = 1; b = 100;
tol = 1e-6;
S1 = (b-a)/6*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b));
S2 = (b-a)/12*(f(a)+4*f((a+(a+b)/2)/2)+2*f((a+b)/2)+...
4*f(((a+b)/2+b)/2)+f(b));
err = abs(S2-S1);
while err > tol
S1 = S2;
h = (b-a)/2;
S2 = (h/3)*(f(a)+4*f(a+h)+f(b))+...
(h/6)*(f(a)+4*f((a+h)/2)+2*f(a+h)+...
4*f((a+h+b)/2)+f(b));
err = abs(S2-S1);
end
q = S2;
其中，S1和S2分别表示一次和二次辛普森积分计算结果，err表示两次积分结果之间的误差，tol表示误差容限。首先计算一次辛普森积分结果S1，然后通过一次辛普森积分计算出S2，根据两者之间的误差判断是否满足误差容限，如果不满足，则继续迭代计算，直到满足误差要求。最终的积分结果保存在q中。
以下是MATLAB代码，用于使用自适应辛普森方法计算 $exp(-x^2)$ 在 $1$ 到 $10000$ 的定积分，并自动控制误差：
f = @(x) exp(-x.^2);
tol = 1e-6;
a = 1;
b = 10000;
I = zeros(20,1);
I(1) = (b-a)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))/6;
for k = 2:20
n = 2^(k-1);
h = (b-a)/n;
x = a+h*(1:2:(n-1));
I1 = sum(f(x));
I2 = sum(f(x+h));
I(k) = I(k-1)/2 + h*(I1+4*I2)/6;
if abs(I(k)-I(k-1)) < tol
break;
end
end
fprintf('The estimated value of the integral is %.6f with an error of %.6f.\n',I(k),(I(k)-I(k-1))/15);
这段代码中，f 是被积函数 $exp(-x^2)$，tol 是允许的最大误差，a 和 b 是积分区间，I 是一个数组，用于存储每个迭代步骤的积分估计值。
在第一个迭代步骤中，我们使用辛普森方法来估计积分。对于每个后续迭代步骤，我们将积分区间分为两个子区间，并在每个子区间上使用辛普森方法来估计积分。然后，我们将这两个子积分的估计值加权平均，得到新的积分估计值。
我们在每个迭代步骤中检查前后两个估计值之间的差异是否小于允许误差 tol。如果是，则停止迭代。否则，继续迭代，直到满足误差要求。
最后，我们使用 fprintf 函数打印出计算得到的积分值和误差。