现有 n个尺寸测量为Xi=[li，wi，hi] （ 1≤i≤n）的三维立方体，且形状尺寸各不相同、大小各异。现在需要把这n个立方体放进合适的柜子里，柜子需要根据立方体的大小进行定制，我该怎么去设计这有限个柜子的大小，才能使得我所有柜子的空间利用率最大，浪费最少，在柜子摆放空间一定的情况下摆放最多的柜子。
我感觉极限情况就是为每个立方体打造适合其本身的柜子，但是这明显不太现实。
如果我现在规定只能设计有限个规格的柜子的情况下（比如可以给个限制条件，规定只能设计m种规格的柜子），我该怎么去设计这m个规格的柜子的尺寸，使得空间浪费最少，是不是存在一种最优解。
不知道这个问题属于什么数学问题？我有看到“背包问题”，不太一样，请各位指点迷津，给我一点思路，是不是有解决这种数学问题的方法或者算法。
基于GPT和Monster组的编写，
有用请采纳：
这个问题可以被归类为三维背包问题，也称作三维剪枝问题，这是一个NP完全问题，意味着没有一个简单的算法可以在多项式时间内找到最优解。
一般的做法是使用近似算法来尽可能减少空间浪费或者启发式算法来寻找最优或者接近最优的解决方案。常用的方法包括贪心，分治法，遗传算法等。
这是一个三维的背包问题，也叫三维空间分割问题，是一类NP完全问题。它在许多领域，如仓储物品，放置半导体零件等都有着广泛的应用。
解决三维背包问题的常用方法包括贪心算法、分治算法和动态规划算法等。这些算法的正确性和效率取决于问题的具体情况，因此，选择最合适的算法需要对问题有更深入的了解。
请问 n 有多大呢？
回答引自chatgpt
使用贪心算法来解决这个问题。首先，我们可以按照立方体的大小从大到小进行排序，然后从最大的立方体开始，将其放入柜子中，并计算柜子的剩余空间。接下来，我们可以按照剩余空间从大到小的顺序，将其余的立方体放入柜子中，直到柜子满为止。这样，我们就可以最大限度地利用柜子的空间，使得柜子的空间利用率最大，浪费最少，在柜子摆放空间一定的情况下摆放最多的柜子。
def put_cubes_in_cabinet(cubes):
# 按照立方体的大小从大到小进行排序
cubes.sort(key=lambda x: x[0] * x[1] * x[2], reverse=True)
# 初始化柜子列表
cabinets = []
# 遍历立方体
for cube in cubes:
# 将立方体放入柜子中
put_in_cabinet(cabinets, cube)
# 返回柜子列表
return cabinets
def put_in_cabinet(cabinets, cube):
# 初始化最大剩余空间
max_remain_space = 0
# 初始化最大剩余空间的柜子索引
max_remain_space_index = -1
# 遍历柜子
for i in range(len(cabinets)):
# 计算柜子的剩余空间
remain_space = cabinets[i][0] * cabinets[i][1] * cabinets[i][2]
# 更新最大剩余空间
if remain_space > max_remain_space:
max_remain_space = remain_space
max_remain_space_index = i
# 如果最大剩余空间的柜子索引为-1，则表示没有柜子可以放入立方体，需要新建柜子
if max_remain_space_index == -1:
cabinets.append(cube)
# 否则，将立方体放入最大剩余空间的柜子中
else:
cabinets[max_remain_space_index] = cube
提供参考实例：01背包问题三种解决（贪心动态规划分支限界），链接：https://blog.csdn.net/Edward_Mcc/article/details/122567532
实现这个问题的最佳解可能需要使用NP完全的优化算法，例如迭代加深或贪心算法。
但是，如果限制了解决方案的数量，则可以使用贪心算法来尝试最大化空间利用率。下面是一种可行的贪心算法的实现：
以下是代码的Python实现：
def best_cabinet_size(cubes, m):
# 对立方体按照体积从大到小排序
cubes.sort(key=lambda x: x[0] * x[1] * x[2], reverse=True)
cabinets = []
for l, w, h in cubes:
placed = False
# 检查每个柜子是否可以放下该立方体
for c in cabinets:
if l <= c[0] and w <= c[1] and h <= c[2]:
c[0] -= l
c[1] -= w
c[2] -= h
placed = True
break
if not placed:
# 如果没有找到合适的柜子，则新建一个
cabinets.append([m - l, m - w, m - h])
return len(cabinets)
这个问题类似于3D背包问题，可以使用贪心算法或者动态规划算法来解决。思路是按照每个立方体的体积大小对所有立方体进行排序，然后从大到小放入尽量大的柜子中，直到柜子满为止。由于空间浪费最小化是NP-hard问题，因此可以通过贪心算法或者近似算法来实现。
这个问题可以看作是一个编程优化问题，可以称为最优化编程问题。它由多个变量组成，即尺寸等参数，目的是寻找能使能够放入的立方体数量最多或最少的参数。
最优化编程问题都可以用数学优化的方法解决，例如遗传算法、模拟退火算法、拟牛顿法等，其中遗传算法适用于求解最大化问题，模拟退火算法和拟牛顿法适用于求解最小化问题。为此，可以采用模拟退火算法对本问题进行求解，初始温度设为柜子里可容纳多少立方体的最大值，减少温度，每次更新柜子里最大可容纳立方体的个数。
该回答引用ChatGPT
这个问题属于三维背包问题，是一个NP困难的问题，常用的算法有贪心算法和迭代加深搜索算法。通过对物品的长、宽、高以及柜子的大小进行排序和选择，可以在一定程度上解决浪费问题。
C++ 的一个示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
struct Cube {
int l, w, h;
};
bool sortByVolume(const Cube &a, const Cube &b) {
return a.l * a.w * a.h > b.l * b.w * b.h;
}
bool fitsInCabinet(const Cube &cube, const int cabinetL, const int cabinetW, const int cabinetH) {
return (cube.l <= cabinetL && cube.w <= cabinetW && cube.h <= cabinetH);
}
int main() {
std::vector<Cube> cubes = {{5, 5, 5}, {4, 4, 4}, {3, 3, 3}, {2, 2, 2}, {1, 1, 1}};
int cabinetL = 10, cabinetW = 10, cabinetH = 10;
std::sort(cubes.begin(), cubes.end(), sortByVolume);
for (const Cube &cube : cubes) {
if (fitsInCabinet(cube, cabinetL, cabinetW, cabinetH)) {
// Place the cube in the cabinet
cabinetL -= cube.l;
cabinetW -= cube.w;
cabinetH -= cube.h;
} else {
// Cannot place the cube in the cabinet, move on to the next cabinet
std::cout << "Cannot place the cube with dimensions " << cube.l << "x" << cube.w << "x" << cube.h << " in the cabinet." << std::endl;
}
}
return 0;
}
以下答案引用自GPT-3大模型,请合理使用：
尽管不存在一个完美的经济尺寸，但是在一定程度上可以通过优化经济尺寸获得最优经济效益。当然，这个最优点是不断变化的，因此需要不断地对经济尺寸进行调整。
There is no perfect size for an economy, but it can be improved through optimization. The optimum point is always changing, so adjustments to the size of the economy are necessary to keep it at its best.
这个问题可以看作一个多维背包问题，即在一定的约束下放最多的体积的物体，此时要求空间利用率最大。您可以使用贪心算法来求解该问题，具体做法为：按照立方体的体积进行排序，首先尝试将最大体积的物体放入最佳尺寸的柜子，如果放不下，则放入次优尺寸的柜子，以此类推，
这个问题可以看做是二维装箱问题（2D Bin Packing Problem）或三维装箱问题（3D Bin Packing Problem）的变种，也是一个经典的组合优化问题。在实际应用中，例如快递业务、货物运输等场景中都有类似的问题需要解决。
简单来说，该问题的目标是在有限的柜子（即装箱）中摆放最多的立方体（即物品），使得空间利用率最大，浪费最少。该问题通常被认为是一个NP-hard问题，没有有效的多项式时间算法可以得到最优解。因此，我们通常采用近似算法、贪心算法等启发式算法来得到一个较优解。
其中，一种简单的贪心算法是首先按照立方体的体积从大到小排序，然后将其放入第一个可容纳它的柜子中。如果柜子中已经放不下该立方体，则新开一个柜子，继续放入立方体。可以不断迭代这个过程，直到所有立方体都被放入柜子中。
如果规定只能设计m种规格的柜子，这个问题可以看做是一个有限制的二维或三维装箱问题。可以先将立方体按体积从大到小排序，然后将其放入一个最小的可容纳它的柜子中。对于已有柜子，可以计算它们的空间利用率，然后根据空间利用率从大到小排序。如果该立方体无法放入已有柜子中，则需要新开一个柜子，该柜子的尺寸需要根据已有柜子的尺寸来确定，使得空间利用率最大。
这个问题可以使用数学规划、动态规划等方法来求解，但难度较大，需要掌握相关的数学算法和计算机编程知识。因此，在实际应用中，我们通常使用启发式算法来解决这个问题。