如何用反证法证明：对于每一个正无理数X，至少存在一个正无理数Y使得X和Y的和为整数。
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证明：假设存在一个正无理数X使得对于任意正无理数Y，X和Y的和不为整数。那么对于任意正无理数Y，X与Y的差也不为整数。因此，X和任意正无理数的差都是正无理数。这意味着，正无理数的数量是无限的，但是整数的数量是有限的。因此，存在一个整数N，使得N和超过N个正无理数的和不为整数。这与假设矛盾，因此假设不成立，证毕。
假如一个无理数X，它可以表示为A+B，A是它的整数部分，B是它的小数部分
那么显然它加上K-B就会是个整数，其中K是任意整数
既然K可以取任意值，那么它当然可以是个正整数
既然B是无限不循环小数，-B必然也是无限不循环小数，所以K-B是无理数
以上是正向证明，中间任何一个步骤假设为不成立，然后推出矛盾结论，就是反证法