本人对二元函数可微的定义存在很多疑惑，首先，我已知的几个成立的条件有以下几个:
（1）二元函数在某点可微则在该点处所有方向都应该可偏导。
（2）二元函数即使在某点处所有方向上都可偏导该函数在该点也不一定可微。
（3）二元函数在x，y两方向上可偏导且偏导数连续则该二元函数在该点可微。
（4）二元函数在所有方向都可偏导且偏导数连续是该二元函数可微的充分不必要条件。
那么问题来了:
2.由（2）可知，二元函数即使在某点处所有方向上都可偏导该函数在该点也不一定可微，那么问题应该出在偏导数是否连续上，那么我们补充: 二元函数在所有方向可偏导且偏导连续，这时候又变成了充分不必要条件了。好家伙，等于说二元函数在所有方向上存在偏导数且在某一个或几个方向上偏导数连续就能说明函数可微了? 那么二元函数可微的充要条件是该函数在所有方向偏导存在且在某几个或一个方向上偏导连续?
感觉有点离谱。
有没有专业人士解释一下这些问题，或者指正一下我的错误，或者能不能举个函数的例子完美地解答上述矛盾之处。
二元函数只能对xy两个方向求偏导。
连续必然可微，但不连续可以可微，也可以不可微
可微定理反过来不一定成立。因为存在二元函数，它在某点可微，但是它在该点的偏导数是不连续的（参见链接里的例子）
参考
https://mathinsight.org/differentiability_multivariable_theorem
https://mathinsight.org/differentiability_multivariable_subtleties