最小生成树问题
设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。
最小生成树问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点的树，使得所有边的权值之和最小。在这个问题中，城市可以看作是图的顶点，而两个城市之间的距离可以看作是边的权值。
在Python中，我们可以使用不同的数据结构来存储图，例如邻接矩阵和邻接表。同样，也有多种不同的算法可以解决最小生成树问题，例如Prim算法和Kruskal算法。
下面我将给出一个使用邻接矩阵和Prim算法的Python代码示例：
import sys
class Graph:
def __init__(self, vertices):
self.V = vertices
self.graph = [[0 for column in range(vertices)] for row in range(vertices)]
def printMST(self, parent):
print("Edge \tWeight")
for i in range(1, self.V):
print(parent[i], "-", i, "\t", self.graph[i][parent[i]])
def minKey(self, key, mstSet):
min_value = sys.maxsize
for v in range(self.V):
if key[v] < min_value and mstSet[v] == False:
min_value = key[v]
min_index = v
return min_index
def primMST(self):
key = [sys.maxsize] * self.V
parent = [None] * self.V
key[0] = 0
mstSet = [False] * self.V
parent[0] = -1
for cout in range(self.V):
u = self.minKey(key, mstSet)
mstSet[u] = True
for v in range(self.V):
if self.graph[u][v] > 0 and mstSet[v] == False and key[v] > self.graph[u][v]:
key[v] = self.graph[u][v]
parent[v] = u
self.printMST(parent)
在这个例子中，我们首先定义了一个图类。我们的图类包含一个二维矩阵，代表图的邻接矩阵，以及一系列用于解决最小生成树问题的函数。其中，printMST函数用于打印最小生成树，minKey函数用于找到key数组中的最小值对应的顶点，primMST函数则是实现了Prim算法的主要部分。
要使用这个图类，我们只需要创建一个新的图对象，然后填充邻接矩阵，最后调用primMST函数即可。例如：
g = Graph(5)
g.graph = [[0, 2, 0, 6, 0],
[2, 0, 3, 8, 5],
[0, 3, 0, 0, 7],
[6, 8, 0, 0, 9],
[0, 5, 7, 9, 0]]
g.primMST()
在这个例子中，我们创建了一个包含5个顶点的图，然后填充了邻接矩阵，最后调用了primMST函数来找到最小生成树。
以下是一些常见的解决最小生成树问题的算法：
Kruskal算法：这个算法的基本思想是按照边的权值从小到大的顺序添加边，直到生成树中含有n-1条边为止。在这个过程中需要注意不要形成环。这个算法的时间复杂度是O(ElogE)，其中E是边的数量。
Prim算法：这个算法的基本思想是从一个顶点开始，每次选择当前生成树与外界顶点之间权值最小的边，将其加入到生成树中。这个算法的时间复杂度是O(ElogV)，其中V是顶点的数量。
Boruvka算法：这个算法的基本思想是每次选择当前生成树与外界顶点之间权值最小的边，将其加入到生成树中。这个算法的时间复杂度是O(ElogV)。
对于存储结构，可以使用邻接矩阵和邻接表来存储图。对于稀疏图，通常使用邻接表，而对于稠密图，通常使用邻接矩阵。
以下是使用Python实现Kruskal算法和Prim算法的简单示例：
Kruskal算法：
class UnionFind:
def __init__(self, n):
self.parent = list(range(n))
self.rank = [0] * n
def find(self, x):
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
def union(self, x, y):
px, py = self.find(x), self.find(y)
if px != py:
if self.rank[px] > self.rank[py]:
self.parent[py] = px
elif self.rank[px] < self.rank[py]:
self.parent[px] = py
else:
self.parent[py] = px
self.rank[px] += 1
def kruskal(n, edges):
edges.sort(key=lambda x: x[2]) # 按照权值从小到大排序
uf = UnionFind(n)
res = 0
for u, v, w in edges:
if uf.find(u) != uf.find(v):
uf.union(u, v)
res += w
if uf.find(0) == uf.find(n-1): # 如果已经连通，就停止
break
return res
Prim算法：
import heapq
def prim(n, edges):
edges.sort(key=lambda x: x[2]) # 按照权值从小到大排序
visited = [False] * n
heap = [(0, 0)] # (权值, 顶点)
res = 0
while heap:
w, u = heapq.heappop(heap)
if visited[u]: # 如果已经访问过，就跳过
continue
visited[u] = True
for v, w in edges[u]: # 遍历与u相连的边
if not visited[v]: # 如果v没有访问过，就加入到堆中
heapq.heappush(heap, (w, v))
res += w # 累加权值
return res
Python中，可以使用著名的最小生成树算法之一——Kruskal算法，它使用并查集数据结构来解决此问题。以下是使用Kruskal算法解决N个城市的最小生成树问题的：
class UnionFind:
def __init__(self, nodes):
self.parent = {node: node for node in nodes}
self.rank = {node: 0 for node in nodes}
def find(self, node):
if self.parent[node] != node:
self.parent[node] = self.find(self.parent[node])
return self.parent[node]
def union(self, node1, node2):
root1 = self.find(node1)
root2 = self.find(node2)
if root1 != root2:
if self.rank[root1] > self.rank[root2]:
self.parent[root2] = root1
else:
self.parent[root1] = root2
if self.rank[root1] == self.rank[root2]:
self.rank[root2] += 1
def kruskal(cities):
edges = []
for city1 in cities:
for city2 in cities:
if city1 != city2:
edges.append((city1, city2, abs(city1 - city2))) # 将城市的索引映射到城市本身，边的权重为城市之间的距离
edges.sort() # 按照边的权重进行排序
uf = UnionFind(cities) # 初始化并查集数据结构
mst = [] # 存储最小生成树的边
for edge in edges:
city1, city2, weight = edge
if uf.find(city1) != uf.find(city2): # 如果两个城市不在同一个连通分量中
uf.union(city1, city2) # 将两个城市合并到同一个连通分量中
mst.append(edge) # 将边添加到最小生成树中
return mst # 返回最小生成树
cities = [0, 1, 2, 3, 4, 5] # 假设有6个城市，城市的索引为0-5
edges = [(0, 1, 10), (0, 2, 6), (0, 3, 5), (1, 3, 15), (1, 4, 8), (2, 4, 7), (2, 5, 9), (3, 5, 11)] # 城市之间的距离（边的权重）
mst = kruskal(cities)
print(mst) # 输出最小生成树
最小生成树问题可以使用Prim算法、Kruskal算法或Dijkstra算法等求解。这里给出一个使用Kruskal算法的Python实现：
class UnionFind:
def __init__(self, n):
self.parent = list(range(n))
self.rank = [0] * n
def find(self, x):
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
def union(self, x, y):
root_x = self.find(x)
root_y = self.find(y)
if root_x == root_y:
return False
if self.rank[root_x] > self.rank[root_y]:
self.parent[root_y] = root_x
else:
self.parent[root_x] = root_y
if self.rank[root_x] == self.rank[root_y]:
self.rank[root_y] += 1
return True
def kruskal(n, edges):
uf = UnionFind(n)
edges.sort(key=lambda x: x[2])
mst = []
for edge in edges:
if uf.union(edge[0], edge[1]):
mst.append(edge)
return mst
if __name__ == "__main__":
n = 6
edges = [(0, 1, 4), (0, 2, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 2), (2, 4, 6), (3, 4, 7)]
mst = kruskal(n, edges)
print("最小生成树的边：", mst)
print("最小生成树的总权值：", sum([edge[2] for edge in mst]))
在这个例子中，我们有6个城市（编号为0到5），以及一些连接这些城市的边和它们的权值。我们使用Kruskal算法来找到最小生成树，并输出最小生成树的边和总权值。
引用 皆我百晓生 小程序回复内容作答：
解决最小生成树问题的经典算法是Prim算法和Kruskal算法。下面分别介绍这两种算法的思路和实现。
Prim算法：Prim算法是一种贪心算法，通过每次选择离当前已构建最小生成树最近的顶点来逐步构建最小生成树。具体步骤如下：
Prim算法可以使用一个优先队列来实现最小堆的功能，以便高效地获取权值最小的边。对于存储结构来说，可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
Kruskal算法：Kruskal算法也是一种贪心算法，通过每次选择权值最小的边，但不会构建一个连通的树，而是将已选取的边加入到一个森林中，直到所有节点都在同一连通分量中。具体步骤如下：
Kruskal算法中，需要使用一个并查集来判断两个节点是否在同一连通分量中，以及将两个连通分量合并。对于存储结构来说，也可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
以上是两种经典的解决最小生成树问题的算法。根据具体情况，可以选择适合的算法和数据结构来实现。