本人最近在开发一个数据处理的程序，涉及一个集合处理问题，总结来说大致的问题如下：
有n个数字集合s1，s2,...,si,...,sn,n个集合中可能两两存在交集，且每个集合元素个数不等，
现需要从每个集合中取部分数字构建新集合S，要求S与si每个集合元素的交集个数最少mi1个（mi1最小为0），
最多mi2个（mi2最大值可能为集合si的元素个数），mi1和mi2针对每个si取值不同。
S中的元素个数必须等于X（X的大小可能比单个集合si大小还要小，有可能大，但一定大于所有si指定的mi1相加）。
但从其他集合中取元素时要求大于该集合要求的至少mi1个元素可能导致S与si的交集元素个数大于mi2。
本问题中的集合都是无重复元素的，重复插入相同元素会插入不成功，本问题碰到的最麻烦的问题是，结果集合的元素是固定的，每个si集合取元素有上下限，而各个集合之间存在交集，导致后取值集合使得前面集合超出限定数，如果避免交集中的元素，又可能导致后面集合取出的最小数无法不满足要求。
请给出算法保障最终s的元素与每个si的交集符合该si取值大于等于mi1小于等于mi2的要求。
分割图一直是图像识别的热门研究方向，主要完成的任务就是把图中某部分有意义的物体影像抠出来。比入在X光或CT透视中将某些特定的组织抠出来啥的。
解决方案：
可以使用散列表（哈希表）来实现对集合中元素的剔重。具体步骤如下：
#define HASHSIZE 12 // 定义哈希表长为数组的长度
#define NULLKEY -32786
typedef struct
{
int *elem; // 指向动态分配数组的指针
int count; // 当前元素个数
}HashTable;
Status InitHashTable (HashTable *H)
{
int i;
m=HASHSIZE;
H->count=m;
H->elem=(int *)malloc(m*sizeof(int));
for(i=0;i<m;i++)
H->elem[i]=NULLKEY;
return OK;
}
int Hash(int key)
{
return key % m; // m为散列表长，取余法获得散列地址
}
// 将元素key插入到散列表H中
void InsertHash(HashTable *H,int key)
{
int addr = Hash(key);
while(H->elem[addr]!=NULLKEY) // 冲突的处理
{
addr = (addr+1)%m; // 线性探测
}
H->elem[addr] = key;
H->count--;
}
遍历集合，对每个元素进行哈希操作，并插入到散列表中
遍历散列表，将不为NULLKEY的元素取出来，即为集合中去重后的元素
完整代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define HASHSIZE 12 // 定义哈希表长为数组的长度
#define NULLKEY -32786
typedef struct
{
int *elem; // 指向动态分配数组的指针
int count; // 当前元素个数
}HashTable;
// 初始化哈希表
Status InitHashTable (HashTable *H)
{
int i;
m=HASHSIZE;
H->count=m;
H->elem=(int *)malloc(m*sizeof(int));
for(i=0;i<m;i++)
H->elem[i]=NULLKEY;
return OK;
}
// 哈希函数
int Hash(int key)
{
return key % m;
}
// 将元素key插入到散列表H中
void InsertHash(HashTable *H,int key)
{
int addr = Hash(key);
while(H->elem[addr]!=NULLKEY)
{
addr = (addr+1)%m;
}
H->elem[addr] = key;
H->count--;
}
int main()
{
// 读取集合中的元素
int length;
printf("请输入集合中元素的个数：");
scanf("%d", &length);
int *a = (int*)malloc(length*sizeof(int));
printf("请输入集合中的元素：");
for(int i=0;i<length;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
// 定义哈希表并初始化
HashTable table;
InitHashTable(&table);
// 对集合中元素进行哈希操作，插入到哈希表中
for(int i=0;i<length;i++)
{
InsertHash(&table, a[i]);
}
// 遍历哈希表，输出不为NULLKEY的元素，即为集合中去重后的元素
printf("去重后的元素为：");
for(int i=0;i<HASHSIZE;i++)
{
if(table.elem[i]!=NULLKEY)
{
printf("%d ",table.elem[i]);
}
}
return 0;
}
这是一个组合优化问题，可以考虑使用贪心算法和动态规划算法进行求解。
一种贪心策略是，对于每个集合 si，在集合中按元素出现的频率从高到低排序，然后按照 mi1 到 mi2 的要求，从前往后依次选择元素加入新集合 S 中，直到满足 mi2 的要求或集合中的元素全部被加入 S 中为止。这种贪心策略的时间复杂度为 O(nN log(N))，其中 N 为所有集合中元素的总数，n 为集合数量。
动态规划算法的思路是，设 f[i][j][k] 表示前 i 个集合中取出的元素可以满足前 i 个集合中每个集合的交集个数在 [j, k] 范围内的最小元素个数。则转移方程为：
f[i][j][k] = min(f[i-1][j-x][k-x]) + x，其中 x 是集合 si 和集合 1 到 i-1 的交集大小。
最终的结果为 f[n][mi1][mi2]。
具体实现中，需要一些优化，如使用并查集维护集合间的交集大小，这样可以将计算交集大小的时间复杂度优化到 O(1)。
总的时间复杂度为 O(nN(d+log(N)))，其中 d 表示 mi2-mi1，即每个集合元素应取的个数的范围。
需要注意的是，这两种算法都不能保证得到的结果一定是最优的，但可以保证得到的结果满足要求。
下面是一个基于动态规划思想的示例代码，其中假设所有集合元素都是从 1 到 N 的正整数。需要根据实际情况修改代码。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 105, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, mi1[N], mi2[N];
int a[N][N], f[N][N][N], g[N][N]; // g[i][j] 表示集合 i 和集合 j 的交集大小
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int m;
scanf("%d%d%d", &m, &mi1[i], &mi2[i]);
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int x;
scanf("%d", &x);
a[i][x]++; // 统计集合 i 中各个元素出现的次数
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
// 计算集合 i 和集合 j 的交集大小
g[i][j] = g[j][i] = 0;
for (int k = 1; k <= N; k++) {
g[i][j] += min(a[i][k], a[j][k]);
}
}
}
// 动态规划求解最小元素个数
memset(f, INF, sizeof f);
f[0][0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= N; j++) {
for (int k = j; k <= N; k++) {
// 枚举从集合 i 中选择的元素个数
for (int x = mi1[i]; x <= mi2[i]; x++) {
if (x > j && x <= k && k - x >= max(0, mi1[i] + mi1[1] - g[i][1])
&& k - x >= max(0, mi1[i] + mi1[2] - g[i][2])
&& k - x >= max(0, mi1[i] + mi1[3] - g[i][3])
// ...依次判断与其它集合的交集大小是否满足要求
) {
f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i-1][j-x][k-x] + x);
}
}
}
}
}
// 输出结果
int ans = INF;
for (int j = mi1[n]; j <= mi2[n]; j++) {
for (int k = j; k <= N; k++) {
ans = min(ans, f[n][j][k]);
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
需要注意的是，这个算法的空间复杂度比较高，为 O(nN(d+log(N)))，如果 N 比较大，建议使用空间更优的滚动数组实现。另外，如果集合的个数 n 比较大，可以优化动态规划的实现方式，例如分治、带元素限制的背包等方法。