z1=y1/(y1+y2+y3)
z2=y2/(y1+y2+y3)
z3=y3/(y1+y2+y3)
已知z1和z2和z3， 且上述方程已知数和未知数均是大于0的正值，求y1，y2，y3。
请问，怎么在C++代码里面实现求解思路，或者你的求解思路是怎样？非代码也可以。谢谢。
你这个不是一次方程
一次方程可以用高斯消元法，你这个可以用牛顿迭代法
那GPT给的牛顿法：
在C++中，要准确求解上述三元方程，可以使用数值优化方法，例如牛顿法或拟牛顿法。这些方法可以通过迭代逼近来寻找方程的准确解。
以下是使用C++和GNU Scientific Library (GSL) 库实现牛顿法的示例代码：
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <gsl/gsl_multiroots.h>
// 定义方程组结构
struct EquationData {
double z1, z2, z3;
};
// 方程组函数
int equations(const gsl_vector* x, void* params, gsl_vector* f) {
EquationData* data = static_cast<EquationData*>(params);
double y1 = gsl_vector_get(x, 0);
double y2 = gsl_vector_get(x, 1);
double y3 = gsl_vector_get(x, 2);
double f0 = y1 / (y1 + y2 + y3) - data->z1;
double f1 = y2 / (y1 + y2 + y3) - data->z2;
double f2 = y3 / (y1 + y2 + y3) - data->z3;
gsl_vector_set(f, 0, f0);
gsl_vector_set(f, 1, f1);
gsl_vector_set(f, 2, f2);
return GSL_SUCCESS;
}
int main() {
// 初始化方程组数据
EquationData data;
data.z1 = 0.25;
data.z2 = 0.35;
data.z3 = 0.4;
// 初始化牛顿法求解器
const gsl_multiroot_fsolver_type* solverType = gsl_multiroot_fsolver_hybrids;
gsl_multiroot_fsolver* solver = gsl_multiroot_fsolver_alloc(solverType, 3);
// 初始化初始猜测
gsl_vector* x = gsl_vector_alloc(3);
gsl_vector_set(x, 0, 1.0);
gsl_vector_set(x, 1, 1.0);
gsl_vector_set(x, 2, 1.0);
// 设置方程组和求解器
gsl_multiroot_function eqs = {equations, 3, &data};
gsl_multiroot_fsolver_set(solver, &eqs, x);
// 迭代求解
int status;
size_t iter = 0;
const size_t maxIter = 100; // 最大迭代次数
do {
iter++;
status = gsl_multiroot_fsolver_iterate(solver);
if (status != GSL_SUCCESS)
break;
status = gsl_multiroot_test_residual(solver->f, 1e-6); // 设置迭代停止条件
} while (status == GSL_CONTINUE && iter < maxIter);
// 输出结果
if (status == GSL_SUCCESS) {
std::cout << "Converged to solution." << std::endl;
std::cout << "y1 = " << gsl_vector_get(solver->x, 0) << std::endl;
std::cout << "y2 = " << gsl_vector_get(solver->x, 1) << std::endl;
std::cout << "y3 = " << gsl_vector_get(solver->x, 2) << std::endl
;
} else {
std::cout << "Solver did not converge." << std::endl;
}
// 释放内存
gsl_multiroot_fsolver_free(solver);
gsl_vector_free(x);
return 0;
}
这个示例代码使用GNU Scientific Library (GSL)库来实现牛顿法。首先，定义了一个EquationData结构来存储方程组的输入数据。然后，使用gsl_multiroot_function结构定义方程组的函数，该函数通过牛顿法迭代来计算方程组的残差。接下来，初始化求解器、初始猜测和迭代停止条件，并进行迭代求解，直到满足停止条件或达到最大迭代次数。最后，输出求解结果。
请注意，GSL库提供了许多数值优化和数值计算的功能，并支持多种数值求解方法。牛顿法是其中一种常用的方法之一，但你也可以尝试其他方法，以找到最适合你问题的求解算法。
不知道你这个问题是否已经解决, 如果还没有解决的话:这个问题可以通过使用线性代数的方法来解决。
假设三元一次方程为 a1y1 + b1y2 + c1y3 = z1, a2y1 + b2y2 + c2y3 = z2, a3y1 + b3y2 + c3*y3 = z3。
我们可以使用矩阵的方法来求解，将系数矩阵 A 和常数矩阵 B 组成增广矩阵 [[A|B]]，然后使用高斯消元来求解。
具体步骤如下：
定义一个矩阵类 Matrix，包含基本的构造函数、行列数的获取、矩阵加减乘、高斯消元及求解的方法。
定义一个三元一次方程类 Equations，包含方程系数的设置、增广矩阵及解向量的获取、求解函数等方法。
构造 Equations 类实例，设置方程系数，创建增广矩阵并调用 Matrix 类的高斯消元及求解方法得到解向量。
输出解向量的结果。
伪代码示例：
class Matrix {
public:
Matrix(int rows_, int cols_);
Matrix operator+(const Matrix& other) const;
Matrix operator-(const Matrix& other) const;
Matrix operator*(const Matrix& other) const;
Matrix& gaussian_elimination();
Matrix& backward_substitution();
private:
std::vector<std::vector<double>> data;
int rows, cols;
};
class Equations {
public:
Equations(double a1_, double b1_, double c1_, double z1_,
double a2_, double b2_, double c2_, double z2_,
double a3_, double b3_, double c3_, double z3_);
void create_augmented_matrix();
void solve();
private:
double a1, b1, c1, z1;
double a2, b2, c2, z2;
double a3, b3, c3, z3;
Matrix augmented_matrix;
Matrix solution_vector;
};
int main() {
Equations eq(a1, b1, c1, z1, a2, b2, c2, z2, a3, b3, c3, z3);
eq.create_augmented_matrix();
eq.solve();
std::cout << "y1 = " << eq.get_solution_vector()[0][0] << std::endl;
std::cout << "y2 = " << eq.get_solution_vector()[1][0] << std::endl;
std::cout << "y3 = " << eq.get_solution_vector()[2][0] << std::endl;
return 0;
}
#include <iostream>
using namespace std;
//三元一次方程组
struct equation
{
float x1,x2,x3;
float y1,y2,y3;
float z1,z2,z3;
float numx1, numx2, numx3;
float numy1, numy2, numy3;
float numz1, numz2, numz3;
float sum1, sum2, sum3;
};
int main() {
equation s = { }; //先建设一个空的结构题，方便后续定义
struct equation *p = &s; //struct可以省略
cout << "请输入x前的系数（numx1）" << endl;
cin>> p->numx1;
//cout << "请输入x的值（x1）" << endl;
//cin >> p->x1;
cout << "请输入y前的系数（numy1）" << endl;
cin >> p->numy1;
cout << "请输入z前的系数（numz1）" << endl;
cin >> p->numz1;
cout << "请输入sum的值（sum1）" << endl;
cin >> p->sum1;
cout << "方程为一：" << p->numx1 << "x" << "+" << p->numy1 << "y" << "+" << p->numz1 << "z" <<"="<< p->sum1 << endl;
cout << endl;//以上为方程一
cout << "请输入x前的系数（numx2）" << endl;
cin >> p->numx2;
//cout << "请输入x的值（x2）" << endl;
//cin >> p->x2;
cout << "请输入y前的系数（numy2）" << endl;
cin >> p->numy2;
cout << "请输入z前的系数（numz2）" << endl;
cin >> p->numz2;
cout << "请输入sum的值（sum2）" << endl;
cin >> p->sum2;
cout << "方程为二：" << p->numx2 << "x" << "+" << p->numy2 << "y" << "+" << p->numz2 << "z" << "=" << p->sum2 << endl;
cout << endl;//以上是方程二
cout << "请输入x前的系数（numx3）" << endl;
cin >> p->numx3;
//cout << "请输入x的值（x3）" << endl;
//cin >> p->x3;
cout << "请输入y前的系数（numy3）" << endl;
cin >> p->numy3;
cout << "请输入z前的系数（numz3）" << endl;
cin >> p->numz3;
cout << "请输入sum的值（sum3）" << endl;
cin >> p->sum3;
cout << "方程为：" << p->numx3 << "x" << "+" << p->numy3 << "y" <<"+"<< p->numz3 << "z" << "=" << p->sum3 << endl;
cout << endl;//以上是方程三
float num12z = p->numz2 / p->numz1; //这里是使1，2方程倍数相同消去变量z
float num13z = p->numz3 / p->numz1; //这里是使1，3方程倍数相同消去变量z
float num12y = (p->numy1)*num12z - p->numy2; //此处是为了求出二元一次方程组y的系数
float num13y = (p->numy1)*num13z - p->numy3;
float num12x = (p->numx1)*num12z - p->numx2; //此处是为了求出二元一次方程组x的系数
float num13x = (p->numx1)*num13z - p->numx3;
float sum12 = p->sum1*num12z - p->sum2;
float sum13 = p->sum1*num13z - p->sum3;
float num3 = num13x/num12x; //num3是为了让x前的系数相同，再计算y的值
float val = num3*num12y - num13y; //y之间的差值
float val2 = sum12*num3 - sum13; //sum是指之间系数差值
float y = val2 / val; //
float x = (sum12 - num12y * y) / num12x;
float z = (p->sum3 - p->numx3*x - p->numy3*y) / p->numz3;
cout << "x的值为" << x << endl;
cout << "y的值为" << y << endl;
cout << "z的值为" << z << endl;
return 0;
//cout << p << endl;//访问指针位置，十六进制
//cout << p->numx1 << endl;
}