数值分析课程实验习题

设椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，记离心率为e=c/a，给出已知a和e用弧微分方法求椭园轨道长度s的算法及程序；

根据椭圆参数方程：

x = a * cos(t)
y = b * sin(t)

其中，t为参数，取值范围为[0, 2π]。

我们可以将轨道长度s近似表示为：

s ≈ ∑√(Δx^2 + Δy^2)

其中，Δx和Δy为相邻两个点在横向和纵向上的距离，可以通过用微分法求导得到：

Δx = dx/dt * Δt ≈ a * (-sin(t)) * Δt
Δy = dy/dt * Δt ≈ b * cos(t) * Δt

代入原式得：

s ≈ ∑√(a^2sin^2(t)Δt^2 + b^2cos^2(t)Δt^2)
  ≈ ∑Δt * sqrt(a^2sin^2(t) + b^2cos^2(t))

将t从0积分到2π即可求得椭圆轨道长度s的近似值。将离散的Δt取得足够小，可以得到较为精确的结果。

下面是实现该算法的Python代码：

import math

# 定义椭圆半长轴和离心率
a = 3.0
e = 0.5

# 计算椭圆半短轴
b = a * math.sqrt(1 - e**2)

# 定义积分步长
dt = 0.001

# 定义轨道长度s的初始值和累加变量
s = 0.0
last_x = a
last_y = 0.0

# 进行积分计算
for t in range(int(2 * math.pi / dt)):
    t = t * dt
    x = a * math.cos(t)
    y = b * math.sin(t)
    s += math.sqrt((x - last_x)**2 + (y - last_y)**2)
    last_x = x
    last_y = y

# 输出结果
print("a =", a, "e =", e)
print("轨道长度s ≈", s)

该代码的逻辑比较简单，首先根据半长轴和离心率计算出半短轴b，然后使用循环逐步计算椭圆上相邻两个点的距离，并累加得到轨道长度s的近似值。

需要注意的是，由于Python的精度限制，当积分步长取得很小的时候，可能会出现数值误差，导致计算结果不够精确。为了获得更加准确的结果，可以使用数值积分算法中的一些优化方法，例如自适应步长算法、龙格-库塔法等。