两道线性变换的题，急！

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这个怎么做啊？感觉完全没有思路，有没有这种的思路啊，感觉好抽象

该回答引用ChatGPT4与博主@晓码自在合作编写：

如果矩阵 A 是一个 n 阶方阵,有 n 个不同的特征值,则线性空间 C(A)={X| XA=AX} 的维数为 n。

证明过程如下:

  1. 因为 A 有 n 个不同的特征值 λ1,λ2,...,λn,所以存在 n 个特征向量v1,v2,...,vn 构成的basis,且这 n 个特征向量线性无关。

  2. 考虑线性空间 C(A) 中的任意一个向量 X,我们可以用上述的 n 个特征向量的线性组合来表示它:


X = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
  1. 将 X 代入 XA=AX 得:
(a1v1 + a2v2 + ... + anvn)A = A(a1v1 + a2v2 + ... + anvn)
展开后:
a1Av1 + a2Av2 + ... + anAvn = a1λ1v1 + a2λ2v2 + ... + anλnvn
因为 Avj = λjvj(j=1,2,...,n),所以上式等价于:
a1λ1v1 + a2λ2v2 + ... + anλnvn = a1λ1v1 + a2λ2v2 + ... + anλnvn

这说明系数都相等,即:

a1λ1 = a1λ1, a2λ2 = a2λ2, ..., anλn = anλn

所以,X 必然可以用特征向量的线性组合唯一表示。

  1. 因此,线性空间 C(A) 的维数等于特征向量的个数,也就是矩阵A的特征值数n。

证毕。

以上步骤详细证明了线性空间 C(A) 的维数等于矩阵A的特征值数n。