如果一个分数Z/X可以约分，是否存在Z＝ab,使得a/X和b/X都不可约分？
不存在
假设存在，
因为Z中存在公约数与X的公约数相等（将X和Y都分解到不能再分解为止），
则ab中有x的公约数
则a中或b中有之少一方存在X的公约数（将a和b都分解到不可再分为止）
则a.b之少一个可以与X约分
显然与结论不和
所以不存在都不可以约分的
这个问题很有意思!我们可以通过反证法来证明:
假设对任意分数Z/X,如果它可以约分,那么一定存在整数a和b,使得a/X和b/X都不可约分。
反证:我们找到一个 counterexample,一个分数C/D,使得C/D可以约分,但是不存在整数a和b,满足a/D和b/D都不可约分。
例如,设C=12,D=20。则C/D = 12/20 = 3/5,是可约分的。
但是,不可能找到a和b,使得a/20和b/20都是不可约分的。因为20只有1和2两个因数,所以a和b只能是1,2,4,5,10中的几个。
但这些个整数除以20后,结果显然都是可约分的(因为20可以整除)。
因此,我们找到了一个反例,推翻了这个命题的假设。
所以,对任意分数Z/X,如果它可以约分,不一定存在整数a和b,使得a/X和b/X都不可约分。
所以这个在走路时想到的问题的答案是否定的。不是所有的可约分的分数Z/X,都一定存在Z=ab,使a/X和b/X都是不可约分的。
存在counterexample,我们举的例子就是12/20这个分数。
这个问题考察的知识点是数论中的分数约分与最大公因数。要证明类似的命题,掌握反证法这个逻辑方法是很重要的。通过假设命题成立,并找到反例来推翻这个假设,这是一个很实用的逻辑推理工具。