C语言实现3阶以上行列式的计算

想请问一下这个3阶以上行列式的计算该怎么实现？我的想法是用递归，但是后面的余子式想不明白

其实可以用高斯消元法的，难度上、时间复杂度上都比递归要好。但是既然题主要求，就这样写了：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int **CreateMatrix(int n)
{
    int **matrix = (int**)malloc(n * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        matrix[i] = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    }
    return matrix;
}

int **Minor(int n, int **matrix, int i, int j)
{
    if (n == 1) return NULL;
    int **result = CreateMatrix(n - 1);
    for (int x = 0; x < n - 1; ++x)
    {
        for (int y = 0; y < n - 1; ++y)
        {
            result[x][y] = matrix[x < i ? x : x + 1][y < j ? y : y + 1];
        }
    }
    return result;
}

int Determinant(int n, int **matrix)
{
    if (n == 1) return matrix[0][0];
    int det = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        det += (i % 2 == 0 ? 1 : -1) * matrix[0][i] * Determinant(n - 1, Minor(n, matrix, 0, i));
    }
    return det;
}

int main()
{
    int n;
    printf("输入方阵的行列数: ");
    scanf("%d", &n);

    int **matrix = CreateMatrix(n);

    printf("输入矩阵:\n");
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            scanf("%d", &matrix[i][j]);
        }
    }

    printf("这个矩阵的行列式是 %d", Determinant(n, matrix));

    return 0;
}

该回答引用GPT

计算3阶及以上的行列式，可以使用递归计算每个元素的余子式和代数余子式，从而完成行列式的计算。

以4阶行列式为例，假设行列式为：

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{vmatrix}
$$

我们可以先选取第一行的元素 $a_{11}$ 作为展开元素，计算其余子式的行列式 $D_{11}$。

$$
D_{11} =
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{vmatrix}
$$

接下来计算 $D_{11}$ 的代数余子式 $A_{11}$，它是 $a_{11}$ 对应的余子式的符号乘上 $D_{11}$。

$$
A_{11} = (-1)^{1+1} D_{11} = D_{11}
$$

然后可以计算出 $a_{11}$ 对应的代数余子式 $A_{11}$ 与 $a_{11}$ 的乘积。

$$
a_{11} A_{11}
$$

接下来，我们只需要计算行列式的余下部分：

$$
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{vmatrix}
$$

这是一个 $3 \times 3$ 的行列式，可以使用相同的方法递归计算其值，直到计算出 $2 \times 2$ 的行列式为止。最后将每个元素对应的代数余子式与其乘积相加即可得到最终的行列式值。

需要注意的是，计算每个元素的余子式和代数余子式时，需要根据其位置的奇偶性来确定符号。具体来说，如果行列式中某个元素位于偶数行偶数列、奇数行奇数列时，其余子式的符号为正；位于偶数行奇数列、奇数行偶数列时，其余子式的符号为负。