钢材余料的匹配问题！

一些大型船厂在生产过程会产生大量的钢材余料，这些钢材余料都是长方体型材，这些
工厂对余料管理比较规范，对每个余料都有编号及该余料规格信息（比如余料长、宽、高等
数据）。由于大型船厂的余料有些比较成型，适合一些小型企业用来生产有关产品，为此这
些客户（小型企业的简称）对大型船厂余料的有很多需求，各种客户根据自己的要求会提出
不同的需求，以往都是人工来查找出与客户要求相匹配的钢材材料。
问题 1: 某船厂有 100 种余料，客户提出 5 种型材的要求，数据见附件 1，试从 100 种余料
中找出与客户要求相匹配的余料，使得该余料切割成客户要求的型材后，所剩下的废料最少，
试建立数学模型来解决余料匹配方式（不考虑切割损耗和切割费用）。
问题 2: 某船厂有 100 种余料，各种余料的数量不同，有一客户提出多种规格的不同数量的
要求，数据见附件 2，试从现有的余料中找出与客户要求相匹配的余料，使得各件余料切割
成客户要求的型材后，所剩下的废料总和最小，试建立数学模型来解决余料匹配方式（不考
虑切割损耗和切割费用）。
问题 3: 对问题 2 提出的问题和附件 3 中的数据，设切割费用为每平方米 10 元，综合考虑
切割费用和切割后得到的余料。试从现有的余料中找出与客户要求相匹配的余料，使得各件
余料切割成客户要求的型材后，试求总费用最小且所得总的废料最小的匹配方式。试建立数
学模型来解决余料匹配方式（不考虑切割损耗）。
问题 4: 结合问题 2 和问题 3 的结论，试给该船厂写一个钢材余料的匹配问题的建议（或操
作指南），以指导船厂在不同要求下，实现钢材余料的最优匹配。

重邮的吧，我们的题网上搜不到的，好好加油

重邮学子是这样的，刚发题你就网上问是吧

你牛逼，小心别人举报你

xd，cqupt？

cqupt

来自GPT的回答：

问题1：
假设船厂有 $n$ 种余料，编号为 $1,2,\cdots,n$，每种余料的长、宽、高分别为 $l_i,w_i,h_i$，客户要求的型材共有 $m$ 种，编号为 $1,2,\cdots,m$，每种型材的长、宽、高分别为 $a_j,b_j,c_j$，需要找到一种余料满足客户要求，且切割后所剩下的废料最少。

我们可以将问题抽象为一个 0/1 背包问题。对于第 $i$ 种余料，它可以选择或者不选择，选择后可以切割成若干块型材，满足一定的限制条件。对于第 $j$ 种型材，我们需要用选取的余料去匹配，满足其长、宽、高的限制，同时需要考虑所剩下的废料最少。因此，可以将第 $i$ 种余料切割成满足第 $j$ 种型材要求的所有方案都列举出来，并计算所剩下的废料的最小值。这个最小值即为在使用第 $i$ 种余料，满足第 $j$ 种型材要求的情况下所剩下的废料最少的值，记为 $f_{i,j}$。如果不存在这样的方案，则 $f_{i,j}=\infty$。

那么对于每个型材，我们只需要枚举所有的余料，计算出对应的 $f_{i,j}$，并在其中取最小值，即为使用所有余料能够满足第 $j$ 种型材要求的情况下所剩下的废料最少的值。由于需要找到所有型材的最优匹配方案，因此可以将其看作一个多重背包问题，使用动态规划求解。

问题2：
与问题1类似，可以将其抽象为一个多重背包问题，但是需要注意每种余料的数量不同。对于每种余料，数量为 $k_i$，可以选择 $0,1,\cdots,k_i$ 个，因此需要使用多重背包的思想。具体来说，对于第 $i$ 种余料，它可以选择 $0,1,\cdots,k_i$ 个，并分别计算其使用情况下，可以满足所有型材要求的情况下，所剩下的废料最少的值 $f_{i,j}$。因此，我们需要先计算出所有余料可以分别使用多少个的情况下的 $f_{i,j}$ 值，然后将其转化为多重背包问题求解。