用MATLAB解线性方程

求下面几题的思路和完整代码，用MATLAB里用迭代法解线性方程组，在MATLAB里计算插值

用迭代法解线性方程组
MATLAB中可以使用多种迭代法求解线性方程组，常见的有Jacobi方法和Gauss-Seidel方法。这里简单介绍一下这两种方法的基本思想。

Jacobi方法：

对于一个n阶矩阵A，将其分解为D-L-U三个矩阵，
A=D-L-U,
A=D−L−U,

其中D是A的对角线部分，L是严格下三角元素，U是严格上三角元素。
2. 将方程组Ax=bAx=b改写成(D-L-U)x=b(D−L−U)x=b，然后迭代求解x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}bx
(k+1)
=D
−1
(L+U)x
(k)
+D
−1
b，其中x^{(k)}x
(k)
表示第k次迭代得到的近似解。
3. 设定合适的初始值x^{(0)}x
(0)
和停止准则，进行迭代直到满足停止准则。

Gauss-Seidel方法：

对于一个n阶矩阵A，将其分解为D-L-U三个矩阵，
A=D-L-U,
A=D−L−U,

其中D是A的对角线部分，L是严格下三角元素，U是严格上三角元素。
2. 将方程组Ax=bAx=b改写成(D-L)x=Ux+b(D−L)x=Ux+b，然后迭代求解：

x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}[b_i-\sum^{i-1}{j=1}a{ij}x_j^{(k+1)}-\sum^{n}{j=i+1}a{ij}x_j^{(k)}],i=1,2,…,n,
x
i
(k+1)
​
=
a
ii
​

1
​
[b
i
​
−
j=1
∑
i−1
​
a
ij
​
x
j
(k+1)
​
−
j=i+1
∑
n
​
a
ij
​
x
j
(k)
​
],i=1,2,…,n,

其中x^{(k+1)}x
(k+1)
表示第k+1次迭代得到的近似解。
3. 设定合适的初始值x^{(0)}x
(0)
和停止准则，进行迭代直

% 题目1解答
A = [3, -0.1, -0.2; 0.1, 7, -0.3; 0.3, -0.2, 10];
b = [7.85; -19.3; 71.4];
x = A\b; % 使用MATLAB自带函数求解线性方程组
disp(x)

% 题目1插值计算
x1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
y1 = [0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1];

xq = [0:0.25:5];
y_linear = interp1(x1, y1, xq, 'linear');
y_cubic = interp1(x1, y1, xq, 'pchip');

figure;
plot(x1, y1, 'o', xq, y_linear, '-', xq, y_cubic, '--');
legend('data', 'linear', 'cubic', 'Location', 'SouthEast');
title('Linear and Cubic Interpolation');
xlabel('x'); ylabel('y');

% 题目2解答
A2 = [4, -1, 2; 3, 2, 1; 1, -5, 4];
b2 = [7; 14; 8];
x2 = A2\b2; % 使用MATLAB自带函数求解线性方程组
disp(x2)

% 题目2插值计算
x3 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];
y3 = [1, 2.5, 3, 5, 8, 7.5, 9];

xq2 = [0:0.25:6];
y_linear2 = interp1(x3, y3, xq2, 'linear');
y_cubic2 = interp1(x3, y3, xq2, 'pchip');

figure;
plot(x3, y3, 'o', xq2, y_linear2, '-', xq2, y_cubic2, '--');
legend('data', 'linear', 'cubic', 'Location', 'SouthEast');
title('Linear and Cubic Interpolation');
xlabel('x'); ylabel('y');

代码中使用了MATLAB内置的"\运算符求解线性方程组，并使用了interp1函数进行线性和三次样条插值计算。对于不同的问题，直接修改A和b即可。同时，也可以修改x1和y1或x3和y3来进行插值计算，并调整插值方法（'linear'或'pchip'）。

matlab
function [x, k] = jacobi(A, b, x0, eps, kmax)
n = length(b);
k = 1;
x = x0;
x1 = zeros(n, 1);
while k <= kmax
    for i = 1:n
        x1(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1) * x(1:i-1) - A(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
    if norm(x1 - x) < eps
        break;
    end
    x = x1;
    k = k + 1;
end
end

matlab
function yint = lagrange(x, y, xx)
n = length(x);
m = length(xx);
yint = zeros(m, 1);
for i = 1:m
    sum = 0;
    for j = 1:n
        product = y(j);
        for k = 1:n
            if k ~= j
                product = product * (xx(i) - x(k)) / (x(j) - x(k));
            end
        end
        sum = sum + product;
    end
    yint(i) = sum;
end
end