MATLAB求方程近似根
求上机代码和清晰的思路分析。（二分法 牛顿迭代法的定义与在此题中的具体应用 ）
第一个问题：运行结果如下：
二分法的MATLAB代码如下：
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2; % 定义函数
a = 0; % 区间左端点
b = 1; % 区间右端点
tol = 1/2*10^(-3); % 精度要求
while (b-a)/2 > tol
c = (a+b)/2; % 取区间中点
if f(c) == 0 % 精确命中
break
elseif f(c)*f(a) < 0 % 根在左半区间
b = c;
else % 根在右半区间
a = c;
end
end
root = (a+b)/2 % 输出近似根
第二个问题：
选代过程的MATLAB代码如下：
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2; % 定义函数
x0 = 0; % 初值
tol = 1/2*10^(-3); % 精度要求
x = x0;
k = 1;
while abs(f(x)) > tol && k <= 100 % k <= 100 为防止死循环
x = (2-f(x)*k)/10; % 选代公式
k = k + 1;
end
root = x % 输出近似根
第三个问题：运行结果：
牛顿迭代法的MATLAB代码如下：
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2; % 定义函数
df = @(x) exp(x) + 10; % 定义导数
x0 = 0; % 初值
tol = 1/2*10^(-3); % 精度要求
x = x0;
k = 1;
while abs(f(x)) > tol && k <= 100 % k <= 100 为防止死循环
x = x - f(x)/df(x); % 牛顿迭代公式
k = k + 1;
end
root = x % 输出近似根
三种方法的计算量比较：
二分法：每次迭代区间减半，因此需要进行 $\log_2(n)$ 次迭代，其中 $n$ 是区间长度与精度要求的比值的倒数，即 $n=2/\epsilon$。每次迭代需要计算函数值一次，因此总共需要计算函数值 $\log_2(n)+1$ 次。
选代过程：每次迭代只需要计算一次函数值，因此总共需要计算函数值 $k$ 次。当 $k=100$ 时迭代停止。
牛顿迭代法：每次迭代需要计算函数值和导数值各一次，因此总共需要计算函数值和导数值 $k$ 次。当 $k=100$ 时迭代停止。
综上，选代过程最简单，二分法和牛顿迭代法计算量相当。
首先，定义方程及其导数。
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
df = @(x) exp(x) + 10;
接下来，分别使用二分法、简单迭代法和牛顿迭代法求解。
1.使用二分法：
a = 0;
b = 1;
tol = 0.5e-3;
iter = 0;
while (b - a) > tol
iter = iter + 1;
c = (a + b) / 2;
if f(a) * f(c) < 0
b = c;
else
a = c;
end
end
root_bisection = c;
iter_bisection = iter;
2.使用简单迭代法：
x0 = 0;
tol = 0.5e-3;
iter = 0;
error = 1;
while error > tol
iter = iter + 1;
x1 = (2 - exp(x0) * iter) / 10;
error = abs(x1 - x0);
x0 = x1;
end
root_iterative = x0;
iter_iterative = iter;
3.使用牛顿迭代法：
x0 = 0;
tol = 0.5e-3;
iter = 0;
error = 1;
while error > tol
iter = iter + 1;
x1 = x0 - f(x0) / df(x0);
error = abs(x1 - x0);
x0 = x1;
end
root_newton = x0;
iter_newton = iter;
4.最后，可以输出每种方法的结果和迭代次数进行比较。
fprintf('二分法: 根 = %.4f, 迭代次数 = %d\n', root_bisection, iter_bisection);
fprintf('简单迭代法: 根 = %.4f, 迭代次数 = %d\n', root_iterative, iter_iterative);
fprintf('牛顿迭代法: 根 = %.4f, 迭代次数 = %d\n', root_newton, iter_newton);
如果我的建议对您有帮助、请点击采纳、祝您生活愉快！
内容来源与ChatGpt4及newbing和百度：
二分法求近似根的 MATLAB 代码：
function [x, iter] = bisection(f, a, b, tol, max_iter)
% f: 函数句柄
% a, b: 初始区间
% tol: 精度要求
% max_iter: 最大迭代次数
% x: 近似根
% iter: 实际迭代次数
if f(a) * f(b) >= 0
error('f(a) 和 f(b) 的符号必须不同！');
end
for iter = 1:max_iter
x = (a + b) / 2;
if abs(f(x)) < tol
return;
elseif f(a) * f(x) < 0
b = x;
else
a = x;
end
end
error('达到最大迭代次数仍未达到指定精度！');
使用例子：
f = @(x) x^2 - 2;
[x, iter] = bisection(f, 1, 2, 1e-6, 100);
fprintf('近似根为 %f，迭代次数为 %d。\n', x, iter);
牛顿迭代法求近似根的 MATLAB 代码：
function [x, iter] = newton(f, df, x0, tol, max_iter)
% f: 函数句柄
% df: 导函数句柄
% x0: 初始点
% tol: 精度要求
% max_iter: 最大迭代次数
% x: 近似根
% iter: 实际迭代次数
for iter = 1:max_iter
fx = f(x0);
dfx = df(x0);
x = x0 - fx / dfx;
if abs(x - x0) < tol
return;
end
x0 = x;
end
error('达到最大迭代次数仍未达到指定精度！');
使用例子：
f = @(x) x^2 - 2;
df = @(x) 2 * x;
[x, iter] = newton(f, df, 1.5, 1e-6, 100);
fprintf('近似根为 %f，迭代次数为 %d。\n', x, iter);
祝您问题迎刃而解
引用chat gpt
上机代码和清晰的思路分析取决于您要解决的具体问题。在这里，我将为您提供一个简单的示例，展示如何使用二分法和牛顿迭代法来求解方程的根。
问题：假设我们要求解方程 f(x) = 0 的根，其中 f(x) 是一个连续可导的函数。
思路分析：
1、二分法：二分法是一种简单的根据函数在区间内的取值情况，将区间不断缩小，直到找到根的方法。具体步骤如下：
初始化区间 [a, b]，其中 a 和 b 分别是 f(x) = 0 在区间内的两个不同符号的点，即 f(a) * f(b) < 0。
在区间的中点 c = (a + b) / 2 处计算 f(c)。
如果 f(c) 接近于零或者达到了所需的精度，那么 c 就是方程的近似根。
否则，根据 f(a) 和 f(c) 的符号确定新的区间 [a, c] 或 [c, b]，并重复步骤 2 和 3，直到找到根或者达到了预定的迭代次数。
2、牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通过利用函数的导数信息来逐步逼近根的方法。具体步骤如下：
初始化一个近似根 x0。
计算 f(x0) 和 f'(x0)，其中 f'(x0) 是 f(x) 在 x0 处的导数。
更新近似根为 x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。
如果 f(x1) 接近于零或者达到了所需的精度，那么 x1 就是方程的近似根。
否则，将 x1 当作新的近似根，重复步骤 2 和 3，直到找到根或者达到了预定的迭代次数。
下面是一个简单的 Python 示例代码，演示如何使用二分法和牛顿迭代法来求解方程的根：
import math
# 定义函数 f(x)
def f(x):
return x**2 - 4
# 定义函数 f'(x) 的导数
def f_prime(x):
return 2 * x
# 二分法
def bisection_method(a, b, epsilon):
if f(a) * f(b) >= 0:
print("Error: f(a) * f(b) >= 0, cannot use bisection method!")
return None
while (b - a) >= epsilon:
c = (a + b) / 2
if f(c) == 0:
return c
import math
# 定义函数 f(x)
def f(x):
return x**2 - 4
# 定义函数 f'(x) 的导数
def f_prime(x):
return 2 * x
# 牛顿迭代法
def newton_iteration(x0, epsilon, max_iter):
x = x0
iter_count = 0
while abs(f(x)) >= epsilon and iter_count < max_iter:
x = x - f(x) / f_prime(x)
iter_count += 1
if abs(f(x)) < epsilon:
return x
else:
print("Error: Exceeded maximum iterations, cannot find root!")
return None
使用上面的代码，您可以调用 newton_iteration 函数，传入初始近似根 x0、所需的精度 epsilon 和最大迭代次数 max_iter，即可得到方程的近似根。请注意，选择合适的初始近似根和控制迭代次数的参数是牛顿迭代法的关键，需要根据具体的问题进行调整。
以下答案由GPT-3.5大模型与博主波罗歌共同编写：
题目描述：
已知函数 $f(x)$，求 $f(x)=0$ 的近似根。
要求使用二分法和牛顿迭代法求解。
思路分析：
二分法：
二分法也叫折半法，是一种不断缩小问题规模的算法。其核心思想是：如果取值域中包含函数 $f(x)$ 的根，那么将该值域等分成两个子区间，根据介值定理，在存在根的那个区间内至少存在一个点 $c$，使得 $f(c)=0$。通过不断缩小区间的宽度，就能逐渐逼近根的位置。
具体实现时，选择合适的初值 $a$ 和 $b$，计算出中点 $c=\frac{a+b}{2}$ 并计算 $f(c)$ 的值，根据 $f(c)$ 即可确定根在哪个子区间内，将该子区间作为下一次迭代的取值域，循环执行直到达到一定的精度要求或已经找到了满足精度要求的根。
二分法的优点是收敛速度稳定，且对函数 $f(x)$ 没有太多的要求；缺点是每次迭代只能使求解区间的长度缩小一半，因此收敛速度相对较慢。
牛顿迭代法：
牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），通常表现为一种迭代公式，利用函数的一阶和二阶导数信息不断逼近根的位置。其公式如下：
$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}, k=0,1,2,...$$
其中，$x_0$ 是初值，$f^{'}(x_k)$ 是 $f(x)$ 在 $x_k$ 处的一阶导数，又称斜率。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快（若中间点的一阶导数不为 $0$，则一般是二阶收敛），缺点是无法保证收敛，当初值选择不当或函数 $f(x)$ 不满足一定的条件时可能会出现找不到根或者收敛速度较慢的情况。
代码实现：
以下是 MATLAB 中二分法和牛顿迭代法的代码实现（其中，$f(x)$ 在代码中被表示为匿名函数）：
- 二分法
a = 1; % 求解区间左端点
b = 3; % 求解区间右端点
tol = 1e-5; % 精度要求
max_iter = 100; % 最大迭代次数
iter = 0; % 迭代步数
while iter < max_iter
iter = iter + 1;
c = (a + b) / 2; % 计算中点
fc = f(c); % 计算中点函数值
if abs(fc) < tol % 达到精度要求
fprintf('Solution found: x = %f\n', c);
break;
end
if f(a) * fc < 0 % 根在左半个区间
b = c;
else % 根在右半个区间
a = c;
end
end
if iter >= max_iter % 未找到解
fprintf('Failed to find solution in %d iterations\n', max_iter);
end
- 牛顿迭代法
x0 = 2; % 初始值
tol = 1e-5; % 精度要求
max_iter = 100; % 最大迭代次数
iter = 0; % 迭代步数
while iter < max_iter
iter = iter + 1;
fx = f(x0); % 计算函数值
if abs(fx) < tol % 达到精度要求
fprintf('Solution found: x = %f\n', x0);
break;
end
fp = (f(x0 + tol) - fx) / tol; % 计算导数
x0 = x0 - fx / fp; % 计算下一个值
end
if iter >= max_iter % 未找到解
fprintf('Failed to find solution in %d iterations\n', max_iter);
end
注意，以上代码为了方便起见并没有添加对函数连续性、导数存在等条件的检查，实际使用时需要根据具体问题进行适当的修改。
如果我的回答解决了您的问题，请采纳！