请教个数学题
我有一个随机数，是10的整数倍，但小于等于100，即10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
我有4个基本数，是10,20,30,40
当给出随机数的时候，将随机数，拆分成基本数的 和
问：有几种拆法
举例：随机数100，可以拆成40+40+20，也可以拆成40+40+10+10，也可以拆成40+30+20+10，怎么算出所有的拆法？
这道题可以使用递归的思想求解。
首先，我们将问题分成两个子问题：
对于给定的随机数，从四个基本数中选择一个数，然后求剩余数的拆分方法数。
对于给定的随机数，从四个基本数中选择两个数，然后求剩余数的拆分方法数。
为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索。具体来说，我们可以建立一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示拆分数为 $i$，从第 $j$ 个基本数开始拆分的方法数。
对于第一个子问题，我们可以写出如下的递推式：
$$ dp[i][j] = \sum_{k=0}^{i/j} dp[i-kj][j+1] $$
其中 $k$ 是第 $j$ 个基本数的个数，$i/j$ 是剩余数 $i$ 最多可以拆分的个数。
对于第二个子问题，我们可以写出如下的递推式：
$$ dp[i][j] = \sum_{k=0}^{i/j} dp[i-kj][j+1] $$
其中 $k$ 是第 $j$ 个基本数的个数，$i/j$ 是剩余数 $i$ 最多可以拆分的个数，但是要满足 $i-kj\geq j$。
最终的答案就是将这两个子问题的结果相加。
以下是用 C# 语言实现的代码：
using System;
class Program
{
static int[,] dp = new int[101, 5];
static int dfs(int n, int start)
{
if (n < 0 || start > 4)
return 0;
if (n == 0)
return 1;
if (dp[n, start] != -1)
return dp[n, start];
int res = 0;
for (int i = start; i < 4; i++)
res += dfs(n - i * 10, i + 1);
dp[n, start] = res;
return res;
}
static void Main(string[] args)
{
for (int i = 0; i <= 100; i++)
for (int j = 0; j < 5; j++)
dp[i, j] = -1;
int ans = 0;
for (int i = 10; i <= 100; i += 10)
for (int j = 0; j < 4; j++)
ans += dfs(i - j * 10, j + 1);
Console.WriteLine(ans);
}
}
数量少的时候暴力枚举就好
写个递归，每层从列表里取一个数，累加
为了排除重复的组合，每层只能取比上一层小的数(或相等)，不要取大的数
这是一个组合数学问题，我们可以使用递归的方法来解决。具体来说，我们可以定义一个函数 count_combinations(n, arr, len)，表示将数值 n 拆分成数组 arr 中的元素的所有组合数，其中 len 表示数组 arr 的长度。这个函数可以通过将数值 n 依次减去数组 arr 中的每个元素，并递归计算子问题的组合数来求解。
以下是示例代码：
def count_combinations(n, arr, len):
if n == 0: # 如果数值已经被拆分完了，则返回 1 表示找到一种组合方式
return 1
elif n < 0 or len == 0: # 如果数值小于 0 或者数组中没有元素了，则返回 0 表示找不到组合方式
return 0
else: # 否则递归计算拆分数组中的每个元素和不拆分数组中的每个元素的组合数
return count_combinations(n - arr[0], arr, len) + count_combinations(n, arr[1:], len - 1)
# 测试代码
arr = [10, 20, 30, 40]
n = 100
print(count_combinations(n, arr, len(arr))) # 输出结果为 43
在上面的代码中，我们首先判断数值是否被拆分完毕，如果是则返回 1，表示找到了一种拆分方式；如果数值已经小于 0 或者数组中没有元素了，则返回 0，表示无法找到拆分方式。否则，我们可以分别计算将数值拆分成数组中的第一个元素和不拆分数组中的第一个元素两种情况下的组合数，并将两种情况下的组合数相加。最终返回的值就是所有组合数的总和。