信息安全数学基础解题，如果能用本子写下来最好了。

一、选择
1.公式(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C),说明集合中的交运算对并运算满足（ ）。
A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.消去一次2.同余式6x≡48(mod 96)的解数是（ ）。
A. 6 B. 3 C. 4 D. 8
3.下列说法中错误的是（ ）。
A.无穷远点只有一个
B.经过同一个无穷远点的所有直线相互平行,经过不同无穷远点的两直线不平行
C.一条直线的无穷远点有且只有一个
D.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线
4.以下说法中错误的一项是（ ）。
A.并不是所有数都有原根。
B.如果一个数有原根,原根也不一定是唯一的。
C.若模的存在原根,则原根有个
D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5.对于数集上的普通加法和普通乘法，以下说法错误的是（ ）。
A.自然数环 B.整数环 C.有理数环 D.实数环
二、填空
1.计算φ(258)的值为 。
2.写出模11的简化剩余系 。
3.费马小定理：设为素数，则 。
4.一般的，将的三次曲线称为 。
5.若环中乘法∙存在单位元，则称R是 。
三、判断
1.任何非零整数是其自身的倍数,也是其自身的因数。（ ）
2.若a≡b(mod m),a=a1d,b=b1d,则a1≡b1(mod m)。（ ）
3.集合的幂集P(B)关于集合的交运算和并运算构成环。（ ）
4.只有非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。（ ）
5.域K任意点坐标(x,y)称为仿射坐标,引入一个新参量z∈Z,则三维坐标(X,Y,Z)=(xz,yz,z)。（）
四、解答
求7x+11y=100的一切整数解。

求一次同余式15x≡21(mod 9)的解。

img

参考GPT和自己的思路：
一、选择

1 C.分配律
2 C.4
3 A.无穷远点只有一个
4 D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5 D.实数环
二、填空

1 φ(258)=96
2 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
3 若p为素数，则ap-1≡1(mod p)
4 椭圆曲线
5 单位环
三、判断

1 错误。非零整数的因数包括1和本身，但不一定是自身的倍数。
2 正确。根据同余关系的传递性可知：如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

因此，对于a≡b(mod m)，我们可以写成a-b=km，其中k是整数。

将a和b分别表示为a1d和b1d，则有a1d-b1d=km，即(a1-b1)d=km。因此，a1≡b1(mod m)。

因此，如果a≡b(mod m)，则a1≡b1(mod m)是正确的。
3 错误。P(B)关于集合的并运算构成环，不满足交运算的封闭性。
4 错误。非奇异的二次曲线被称为椭圆曲线，非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。
四、解答
第1题 首先我们需要找到一组特解，可以使用辗转相除法求解7x+11y=1的一组解，例如：
11 = 1 * 7 + 4
7 = 1 * 4 + 3
4 = 1 * 3 + 1
1 = 4 - 1 * 3 = 4 - 1 * (7 - 1 * 4) = 2 * 4 - 1 * 7 = 2 * (11 - 1 * 7) - 1 * 7 = 2 * 11 - 3 * 7
因此，一组特解为x=2，y=-3。
然后，我们可以通过变换k=100/7，得到通解为x=2+11k，y=-3-7k。其中k为整数，将k分别取0,1,-1,2,-2,...即可得到所有整数解。

第2题 对15x≡21(mod 9)两边同时除以最大公约数3，得到5x≡7(mod 9)。使用扩展欧几里得算法求解5x+9y=1的一组解，例如：
9 = 1 * 5 + 4
5 = 1 * 4 + 1
1 = 5 - 1 * 4 = 5 - 1 * (9 - 1 * 5) = 2 * 5 - 1 * 9
因此，一组特解为x=2，y=-1。
然后，我们可以通过变换k=7/5，得到通解为x=2+9k，y=-1-5k。其中k为整数，将k分别取0,1,-1,2,-2,...即可得到所有同余式的解。

第3题 由于x≡2(mod3)和x≡2(mod5)是两个线性同余方程，我们可以使用中国剩余定理求解。首先，我们可以使用扩展欧几里得算法求解3y+5z=1的一组解，例如：
5 = 1 * 3 + 2
3 = 1 * 2 + 1
1 = 3 - 1 * 2 = 3 - 1 * (5 - 1 * 3) = 2 * 3 - 1 * 5
因此，一组特解为y=2，z=-1。
然后，我们可以通过变换k=2(mod3)和k=1(mod5)，得到通解为x=2+15k。其中k为整数，将k分别取0,1,-1,2,-2,...即可得到所有同余式组的解。
第4题 根据 RSA 算法，加密公式为: C ≡ M^e (mod n)，其中 C 表示密文，M 表示明文，e 表示公钥，n 表示模数。解密公式为: M ≡ C^d (mod n)，其中 d 表示私钥。

首先，计算 n = p * q = 11 * 17 = 187。
根据欧拉函数，有 phi(n) = (p - 1) * (q - 1) = 160。
找到一个与 phi(n) 互质的整数 e，且 e 满足 1 < e < phi(n)，选择 e = 3。
求解得到私钥 d，满足 d ≡ e^-1 (mod phi(n))，即 d ≡ 107 (mod 160)。
因此，公钥为 (e, n) = (3, 187)，私钥为 (d, n) = (107, 187)。

加密字母 A，对应 ASCII 码为 65，将 65 作为明文 M 进行加密。计算 C ≡ M^e (mod n)，即 C ≡ 65^3 (mod 187)，得到 C = 147。

解密密文 C，计算 M ≡ C^d (mod n)，即 M ≡ 147^107 (mod 187)。
可以使用快速幂算法来计算 M，具体过程如下：

将指数 d 转化为二进制数，例如：107 = 1101011。
从右往左遍历二进制数，将计算过程依次平方并取模。
初始时，取 base = C = 147，因为第一位是 1。
遇到二进制数中的 1，即第 1、3、4、6 位，进行平方并取模。
第 1 位：base = base^2 % n = 147^2 % 187 = 174。
第 3 位：base = base^2 % n = 174^2 % 187 = 85。
第 4 位：base = base^2 % n = 85^2 % 187 = 96。
第 6 位：base = base^2 % n = 96^2 % 187 = 65。
最终得到 M = 65，表示明文为字母 A。
因此，加密后的密文为 147，解密后的明文为 65，表示字母 A。

第5题 在<Z4,⊕>群中：

3的逆元素是什么？
首先计算3的所有幂次：
3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 = 1
3^3 = 3
...

我们可以发现，3的幂次交替为1和3，所以3没有逆元素。

(-3+5)的逆元素是什么？
(-3+5)可以化简为2。因此，我们需要找到2的逆元素，即满足2⊕a=0的a。由于在<Z4,⊕>群中只有4个元素，可以列出所有可能的组合：
0⊕0=0
0⊕1=1
0⊕2=2
0⊕3=3
1⊕0=1
1⊕1=0
1⊕2=3
1⊕3=2
2⊕0=2
2⊕1=3
2⊕2=0
2⊕3=1
3⊕0=3
3⊕1=2
3⊕2=1
3⊕3=0

可以看出，2没有逆元素。

(-2)^3+(-2)^-4的值是多少？
首先计算(-2)^3：
(-2)^3 = (-2)⊕(-2)⊕(-2) = 0

然后计算(-2)^-4。在<Z4,⊕>群中，每个元素的逆元素都是其本身，所以(-2)^-4就是(-2)^4=2：

(-2)^-4 = (-2)^4 = 2

因此，(-2)^3+(-2)^-4=0+2=2。

对于Z5的剩余类环中的多项式：

f(x) = 3x^5 -5x^3 +7x^2-13
g(x) = 2x^2-5x-4

计算f(x)+g(x)：

f(x)+g(x) = (3x^5 -5x^3 +7x^2-13) + (2x^2-5x-4)
= 3x^5 -5x^3 +9x^2 -5x -17

计算f(x)*g(x)：

f(x)*g(x) = (3x^5 -5x^3 +7x^2-13) * (2x^2-5x-4)
= 6x^7 -15x^6 -4x^5 +10x^4 +23x^3 -31x^2 -1x +52

注意，这里的乘法是在模5的意义下进行的，因此需要对系数进行取模运算。

一、选择

C. 分配律
C. 4
A. 无穷远点只有一个
C. 若模的存在原根，则原根有个
D. 实数环
二、填空

φ(258) = 96
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
若p为素数，则对于任意整数a，a^p ≡ a (mod p)。
椭圆曲线
仿射坐标系
三、判断

错误，非零整数不是其自身的因数。
正确。
错误，P(B)关于并运算构成布尔代数。
错误，椭圆曲线是二次曲线。
错误，三维坐标(X,Y,Z)=(xz,yz,z)称为投影坐标系。
四、解答

一般地，ax + by = c 有整数解的充分必要条件是gcd(a, b) | c。因为7和11的最大公约数为1，所以方程有整数解。可以使用扩展欧几里得算法求得一组特解x0, y0，然后通解为x = x0 + kb/gcd(a, b), y = y0 - ka/gcd(a, b)，其中k为任意整数。
首先，15和21的最大公约数是3，因此可以将同余式化为5x ≡ 7 (mod 3)。显然5和3互质，因此5在模3意义下有逆元2，即2 × 5 ≡ 1 (mod 3)。将同余式两边同时乘以2，得到x ≡ 2 × 7 ≡ 1 (mod 3)。因此，x = 3k + 1，其中k为任意整数，是一次同余式的解。


一、选择

1、  C. 分配律
2、  B. 3
3、  A. 无穷远点只有一个
4、  D. 若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5、  D. 实数环

二、填空
1、 φ(258) = 96
2、 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3、 若p为素数且a为整数且p不整除a，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
4、 椭圆曲线
5、 封闭环

三、判断
1、错误。非零整数不一定是其自身的因数。
2、正确。
3、错误。幂集P(B)关于并运算构成布尔代数，不构成环。
4、错误。非奇异的三次曲线可以是任意曲线。
5、正确。

四、解答
1、解答：
7x+11y=100的一切整数解为{(7,9), (18,6), (29,-3), (40,-12), (51,-21), (62,-30), (73,-39), (84,-48)}
可以使用扩展欧几里得算法求解。首先解出7x'+11y'=1的一组整数解(x',y')，可以得到x'=-4，y'=3。
然后将原方程两边同时乘以100，得到7(100x')+11(100y')=100，即7(-400)+11(300)=100。
因此通解为x=-400+11k，y=300-7k，其中k为任意整数。
2、解答：
将同余式15x≡21(mod 9)化为最简形式，得到3x≡3(mod 9)。因为3和9互质，所以可以将同余式两边同时除以3，得到x≡1(mod 3)。
因此，一次同余式15x≡21(mod 9)的解为x ≡ 1 (mod 3)。

如果以上回答对您有所帮助，望采纳～谢谢

一、选择题

C
B
A
D
A
二、填空题

φ(258)的值为96。
模11的简化剩余系为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
费马小定理：若p为素数且a为不被p整除的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
一般的，将 y^2 = x^3 + ax + b 的三次曲线称为椭圆曲线。
若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是整环。
三、判断题

错误，非零整数不是其自身的因数。
正确。
错误，幂集关于交运算构成半环，关于并运算构成环。
错误，椭圆曲线是二次曲线。
错误，引入新参量z后坐标为(X/Z, Y/Z)，称为投影坐标。
四、解答题

7x + 11y = 100 的一切整数解为 x = 11n + 3，y = -7n + 10，其中n为整数。
一次同余式 15x ≡ 21 (mod 9) 的解为 x ≡ 6 (mod 9)。

该回答引用ChatGPT

如有疑问，可以回复我！


>一、选择

C.分配律
B. 3
B.经过同一个无穷远点的所有直线相互平行,经过不同无穷远点的两直线不平行
C.若模的存在原根,则原根有个
A.自然数环

>二、填空

φ(258) = φ(2 * 3 * 43) = (2 - 1)(3 - 1)(43 - 1) = 84。
模11的简化剩余系为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
费马小定理：设p为素数，则a^(p-1) ≡ 1(mod p)。
一般的，将ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3称为三次曲线。
若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是单位环。

>三、判断

正确
错误
错误
正确
错误

>四、解答

>求7x+11y=100的一切整数解。
首先求出7和11的最大公约数gcd(7,11)=1，100可以被1整除，所以方程有整数解。
令x = 11t + x0，y = -7t + y0，将x和y的表达式代入方程：
7(11t + x0) + 11(-7t + y0) = 100。
通过比较系数可得：
x0 = 4, y0 = 9。
因此，整数解的通解为：
x = 11t + 4，y = -7t + 9 (t为任意整数)。

>求一次同余式15x≡21(mod 9)的解。
由15x≡21(mod 9)可得6x≡3(mod 9)。
两边同时除以3得2x≡1(mod 9)。
这是一个一次同余式，可以通过枚举法求解，当x = 5时，满足条件。
因此，解为x ≡ 5(mod 9)。

基于最新版ChatGPT4和个人想法回答，望采纳！！！有其他问题也可以询问我哦💕（最新版更智能，功能更加强大）：
一、选择题

C. 分配律。
B. 3。
A. 无穷远点只有一个。
D. 若是模的一个原根，则当时，也是模的一个原根。
D. 实数环。
二、填空题

φ(258) = φ(2) × φ(3) × φ(43) = 1 × 2 × 42 = 84。
模11的简化剩余系为 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
若p为素数，且a为整数且不是p的倍数，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
一般的，将 x^3 + y^3 = 1 称为椭圆曲线。
若 <R, +, ∙> 环中乘法 ∙ 存在单位元，则称 R 是含幺环。
三、判断题

错误。任何非零整数不是其自身的倍数，只有1和-1是其自身的因数。
正确。
错误。集合的幂集 P(B) 关于集合的并运算构成环，而不是关于交运算和并运算。
错误。只有非奇异的二次曲线（如椭圆、抛物线、双曲线）被称为椭圆曲线。
错误。若引入一个新参量z∈Z，则三维坐标(X,Y,Z)=(xz,yz,z)称为仿射坐标，不是域K上的点坐标。
四、解答题

7x + 11y = 100 的一切整数解可以通过扩展欧几里得算法求解。首先，求出 7 和 11 的最大公约数：
Copy code
11 = 7 × 1 + 4
7 = 4 × 1 + 3
4 = 3 × 1 + 1
3 = 1 × 3 + 0
因此，gcd(7, 11) = 1。接着，使用扩展欧几里得算法求解出一组特殊解 x0 和 y0：

scss
Copy code
1 = 4 - 3 × 1
= 4 - (7 - 4 × 1) × 1
= 4 × 2 - 7 × 1

1 = 4 - 3 × 1
= 4 - (11 - 7 × 1) × 1
= 4 × 2 - 7 × 1 - 11 × (-1)
= 4 × 3 - 7 × 1 - 11 × (-1)

x0 = 3 × 100 = 300, y0 = -1 × 100 = -100
因为 7 和 11 互质，所以方程有无限多组解。所有的解