信息安全数学基础解答

一、选择
1.公式(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C),说明集合中的交运算对并运算满足（ ）。
A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.消去一次2.同余式6x≡48(mod 96)的解数是（ ）。
A. 6 B. 3 C. 4 D. 8
3.下列说法中错误的是（ ）。
A.无穷远点只有一个
B.经过同一个无穷远点的所有直线相互平行,经过不同无穷远点的两直线不平行
C.一条直线的无穷远点有且只有一个
D.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线
4.以下说法中错误的一项是（ ）。
A.并不是所有数都有原根。
B.如果一个数有原根,原根也不一定是唯一的。
C.若模的存在原根,则原根有个
D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5.对于数集上的普通加法和普通乘法，以下说法错误的是（ ）。
A.自然数环 B.整数环 C.有理数环 D.实数环
二、填空
1.计算φ(258)的值为 。
2.写出模11的简化剩余系 。
3.费马小定理：设为素数，则 。
4.一般的，将的三次曲线称为 。
5.若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是 。
三、判断
1.任何非零整数是其自身的倍数,也是其自身的因数。（ ）
2.若a≡b(mod m),a=a1d,b=b1d,则a1≡b1(mod m)。（ ）
3.集合的幂集P(B)关于集合的交运算和并运算构成环。（ ）
4.只有非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。（ ）
5.域K任意点坐标(x,y)称为仿射坐标,引入一个新参量z∈Z,则三维坐标(X,Y,Z)=(xz,yz,z)。（）
四、解答
求7x+11y=100的一切整数解。

求一次同余式15x≡21(mod 9)的解。

参考GPT和自己的思路：
一、选择

1 C.分配律
2 C.4
3 A.无穷远点只有一个
4 D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5 D.实数环
二、填空

1 φ(258)=96
2 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
3 若p为素数，则ap-1≡1(mod p)
4 椭圆曲线
5 单位环
三、判断

1 错误。非零整数的因数包括1和本身，但不一定是自身的倍数。
2 正确。根据同余关系的传递性可知：如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

因此，对于a≡b(mod m)，我们可以写成a-b=km，其中k是整数。

将a和b分别表示为a1d和b1d，则有a1d-b1d=km，即(a1-b1)d=km。因此，a1≡b1(mod m)。

因此，如果a≡b(mod m)，则a1≡b1(mod m)是正确的。
3 错误。P(B)关于集合的并运算构成环，不满足交运算的封闭性。
4 错误。非奇异的二次曲线被称为椭圆曲线，非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。
四、解答

首先求出7x和11y分别在模11下的逆元，由于7和11互质，所以7在模11下的逆元为8，11在模7下的逆元为6。则有：
7x≡100(mod 11)
x≡8×100(mod 11)
x≡2(mod 11)

11y≡100(mod 7)
y≡6×100(mod 7)
y≡4(mod 7)

因此，7x+11y=100的所有整数解为{(2,4),(13,8),(24,12),...}。

15x≡21(mod 9)可化为3x≡3(mod 9)，因为15和21都是3的倍数。根据同余式的性质，可知3和9互质，所以3在模9下有逆元3^-1=6，两边同时乘以6，得到：
x≡6×3(mod 9)
x≡18(mod 9)
x≡0(mod 9)

因此，15x≡21(mod 9)的解为x=9k，其中k为任意整数。

如果对您有帮助，请给与采纳，谢谢

参考GPT和自己的思路，以下是答案：
一、选择

1.C. 分配律
2.C. 4
3.A. 无穷远点只有一个
4.D. 若是模的一个原根，则当时，也是模的一个原根。
5.A. 自然数环
二、填空

1.φ(258) = φ(2 × 3 × 43) = φ(2) × φ(3) × φ(43) = 1 × 2 × 42 = 84
2.模11的简化剩余系为 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，共11个元素。
3.若p为素数，a为不是p的倍数的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
4.一般的，将形如Ax^3 + Bx^2y + Cxy^2 + Dy^3 + Ex^2 + Fxy + Gy^2 + Hx + Iy + J = 0的三次方程称为椭圆曲线。
5.若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是含幺环。
三、判断

1.错误。非零整数的倍数和因数包括自身和1。
2.正确。a ≡ b (mod m) 意味着 m|(a-b)，即 a-b = md。将 a 和 b 分别表示为 a1d 和 b1d，带入原式得到 (a1-b1)d ≡ 0 (mod m)，即 a1 ≡ b1 (mod m)。
3.错误。集合的幂集P(B)关于集合的并运算构成布尔代数，但不满足环的要求，因为并运算不满足乘法的封闭性。
4.错误。非奇异的三次曲线包括椭圆曲线、双曲线和抛物线。

四、解答
将式子变形为：y = (100-7x)/11，因为x和y都是整数，所以100-7x必须是11的倍数。我们可以枚举x的值，然后判断100-7x是否是11的倍数，如果是，则对应的y为整数解。

具体地，我们可以从x=0开始，每次增加11，计算100-7x，如果是11的倍数，则记录下对应的x和y。

当x=0时，100-7x=100，是11的倍数，此时y=100/11=9余1，即整数解为(0,9)。

当x=11时，100-7x=-57，不是11的倍数，因此不存在整数解。

当x=22时，100-7x=-114，是11的倍数，此时y=(-114)/11=-10余4，即整数解为(22,-10)。

当x=33时，100-7x=-171，不是11的倍数，因此不存在整数解。

以此类推，可以继续计算下去。

因此，7x+11y=100的所有整数解为{(0,9),(22,-10),(44,-29),(66,-48),(88,-67)}。

求一次同余式15x≡21(mod 9)的解。
根据同余式的定义，我们需要找到一个整数k，使得15x-21=k×9。将21因式分解得21=3×7，再将15因式分解得15=3×5，将它们代入原式得3×5×x≡3×7(mod 9)，即5x≡7(mod 9)。将此式化简为最简形式，得到5x≡7(mod 9)等价于5x≡7+9k(mod 9)，其中k为任意整数。因此，这是一个一次同余方程，可以用扩展欧几里得算法求解。

首先，求出5和9的最大公约数：gcd(5,9)=1。

然后，应用扩展欧几里得算法，得到5×3+9×(-2)=1。这意味着，5的逆元模9等于3。因此，5的逆元为3，将方程两边同时乘以3，得到15x≡21×3(mod 9)，即x≡7(mod 9)。

因此，15x≡21(mod 9)的解为x=7+9k，其中k为任意整数。

回答不易，还请采纳！！！

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
一、选择

1. 答案：C。交运算对并运算满足分配律。
2. 答案：B。同余式6x ≡ 48(mod 96)的解数等于6和96的最大公约数d=6的因数个数，即d的正约数的个数，因为同余式的解数等于模数和最大公约数的最小公倍数。因为6 = 2 × 3，共有2个因数1和2，所以解数为2。
3. 答案：A。无穷远点在欧几里得几何中只有一个，但在投影几何中可以有多个，因此这个说法是错误的。
4. 答案：D。如果模p有原根g，则g的阶是φ(p)，即g的最小幂次为p-1，而p-1不一定是g的阶。因此，这个说法是错误的。
5. 答案：D。实数环不是环，因为它的乘法没有单位元。在实数环上，只有加法满足环的公理，而乘法没有单位元，因此它只是一个环的部分结构。

二、填空

1. φ(258) = φ(2 × 3 × 43) = 2 × 3 × 42 = 168。
2. 模11的简化剩余系为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。
3. 若p是素数，a是p的任意一个正整数，则a^p-1 ≡ 1 (mod p)。
4. 一般的，将ax^3 + by^3 + cz^3 + dxyz = 0的三次曲线称为三次曲面。
5. 若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是含幺环。

三、判断

1. 错误。非零整数的因数不包括0和负整数。
2. 正确。根据同余式的性质，a ≡ b (mod m)等价于a-b = km，即a和b的差是m的倍数。因此a1d-b1d = d(a-b)也是m的倍数，即a1 ≡ b1 (mod m)。
3. 错误。幂集P(B)关于集合的交运算和并运算构成布尔代数，而不是环。
4. 错误。非奇异的三次曲线可以是椭圆曲线、双曲线或抛物线。

四、解答

将7x + 11y = 100变形为11y = 100 - 7x，可以看出y是100 - 7x的整数倍。因为11和7互质，所以7在模11意义下有逆元8，即7×8 ≡ 1 (mod 11)。将方程两
边同时乘以8，得到56x + 88y = 800，进一步变形为7x + 11y = 100×8 = 800。因此，方程7x + 11y = 800的所有整数解就是7的倍数为x，对应的y就是(800 - 7x)/11的整数部分。即：

x = 0，y = 72；
x = 11，y = 65；
x = 22，y = 58；
x = 33，y = 51；
x = 44，y = 44；
x = 55，y = 37；
x = 66，y = 30；
x = 77，y = 23；
x = 88，y = 16；
x = 99，y = 9。

因此，7x + 11y = 100的一切整数解为以上10组解。

要求解15x ≡ 21 (mod 9)，可以将两边同时除以3，得到5x ≡ 7 (mod 3)。因为3是质数，所以在模3意义下，5有逆元2，即5×2 ≡ 1 (mod 3)。因此，将方程两边同时乘以2，得到10x ≡ 14 (mod 3)，即x ≡ 2 (mod 3)。因此，x的解为x = 2 + 3k，其中k为任意整数。将x = 2 + 3k代入15x ≡ 21 (mod 9)中，得到15(2 + 3k) ≡ 21 (mod 9)，即k ≡ 2 (mod 3)。因此，k的解为k = 2 + 3m，其中m为任意整数。综合起来，15x ≡ 21 (mod 9)的解为x = 2 + 3k = 2 + 3(2 + 3m) = 8 + 9m，其中m为任意整数。

该回答引用ChatGPT Plus -GPT-4

如有疑问，可以回复我！

一、选择

1、C.分配律
2、B. 3
3、D.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线
4、C.若模的存在原根,则原根有个
5、A.自然数环

二、填空

1、80
2、{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3、若p为素数，则a^(p-1) ≡ 1(mod p)
4、将ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3称为三次曲线
5、若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是单位环。

三、判断

1、正确
2、错误
3、错误
4、正确

四、解答

1、设整数解为(x, y)，将原方程变为 7x = 100 - 11y。我们需要找到所有满足条件的整数解。首先，观察到方程的左侧是7的倍数，因此右侧也必须是7的倍数，即 100 - 11y = 7k，其中k为整数。解得 y = (7k - 100) / 11。当k的值使得y为整数时，我们得到一个整数解。k的取值范围为 -14 到 15，这是因为y的最小值为-9，最大值为16。尝试k的所有可能值，我们得到三个整数解：(x, y) = (8, 4), (15, -3), (1, 9)。

2、对于一次同余式15x≡21(mod 9)，我们可以先化简同余式。15 ≡ 6(mod 9)，21 ≡ 3(mod 9)，因此我们可以将同余式简化为6x ≡ 3(mod 9)。接下来，我们可以将6x = 3+9k，解得x = (3 + 9k) / 6。当k取值使得x为整数时，我们得到一个整数解。例如，当k = 1时，x = 2，所以x ≡ 2(mod 9)是同余式的解。

选择：
第1题、选C
第2题、选C
第3题、选A，应该为无数个
第4题、选D，比如：模8的原根是3，但是3和8不互质，因此3不是模16的原根。
第5题、选D

填空：
第1题、φ(258) = 84。
第2题、{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
第3题、a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
第4题、椭圆曲线
第5题、含幺环

判断：
第1题、正确。
第2题、错误。
第3题、错误。
第4题、错误。

最后一题不太会

一、选择

C. 分配律
B. 3
A. 无穷远点只有一个
D. 若是模的一个原根，则当时，也是模的一个原根。
A. 自然数环
二、填空

φ(258) = φ(2 × 3 × 43) = (2-1) × (3-1) × (43-1) = 1 × 2 × 42 = 84
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
若p为素数且a是整数且p不整除a，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
椭圆曲线
单位环
三、判断

错误。非零整数不一定是自身的因数。
错误。需要先证明d是模m的一个单位元。
错误。幂集关于交运算构成布尔代数，不满足环的定义。
错误。三次曲线中，只有非奇异的二次曲线被称为椭圆曲线。
四、解答

可以使用扩展欧几里得算法求解。首先求出7和11的最大公约数为1，然后解出7x + 11y = 1的一组整数解x0和y0。再将这个方程乘上100，得到7(100x0) + 11(100y0) = 100。因此，一组特殊解为x = 100x0，y = 100y0。通解可以表示为x = 100x0 + 11t，y = 100y0 - 7t，其中t为整数。
15x ≡ 21 (mod 9)可以化为15x - 21 = 9k，即5x - 7 = 3k，其中k为整数。因此，5x ≡ 7 (mod 3)。由于3和5互质，因此5在模3下存在逆元2，即2×5 ≡ 1 (mod 3)。因此，将5x ≡ 7 (mod 3)两边同时乘以2，得到10x ≡ 14 (mod 3)，即x ≡ 2 (mod 3)。因此，x = 2 + 3t，其中t为整数。

以下答案由GPT-3.5大模型与博主波罗歌共同编写：
一、选择

1. C. 分配律
2. B. 3
3. A. 无穷远点只有一个
4. D. 若是模的一个原根，则当时，也是模的一个原根。
5. A. 自然数环

二、填空

1. φ(258) = 96
2. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3. a^(p-1) ≡ 1(mod p)
4. 椭圆曲线
5. 叉积环

三、判断

1. 错误
2. 正确
3. 错误
4. 错误
5. 错误

四、解答
7x + 11y = 100
可以用扩展欧几里得算法求解，先用欧几里得算法求出最大公因数和对应的系数，再将方程变形即可。
首先，求出7和11的最大公因数：gcd(7, 11) = 1
然后，使用扩展欧几里得算法求出系数：7×(-4) + 11×3 = 1
将此式乘以100，得到：7×(-400) + 11×300 = 100
因此，x = -400，y = 300
所有解为：(7n-400, 11n+300)，其中n为整数。
即：(-400, 300), (−393, 311), (−386, 322), ……

15x ≡ 21(mod 9)
先化简同余式，将21化为模9的余数：21 ≡ 3(mod 9)
得到：15x ≡ 3(mod 9)
可以发现15和9不互质，不能直接使用费马小定理，可以先将15和9化简成互质的形式。
15 = 9×1 + 6
9 = 6×1 + 3
6 = 3×2 + 0
因此，gcd(15, 9) = 3
由此得到同余式的基本解为：x ≡ 2(mod 3)
因此，一次同余式15x ≡ 21(mod 9)的解为：x ≡ 2(mod 3)
即：x = 3n+2，其中n为整数。
所有解为：2, 5, 8, 11, ……

代码实现（Python）：

# 求7x+11y=100的一切整数解
def extended_euclidean_algorithm(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x1, y1 = extended_euclidean_algorithm(b, a % b)
        x = y1
        y = x1 - (a // b) * y1
        return gcd, x, y

gcd, x, y = extended_euclidean_algorithm(7, 11)
x *= 100
y *= 100
print("7x + 11y = 100的一切整数解为：")
for n in range(-30, 30):
  x0 = 7*n + x
  y0 = 11*n + y
  print('(%d, %d)' % (x0, y0))

# 求一次同余式15x≡21(mod 9)的解
a = 15
b = 9
c = 21

gcd, x, y = extended_euclidean_algorithm(a, b)
if c % gcd != 0:
    print("无解")
else:
    x *= c // gcd
    x %= b # 同余式的最小非负整数解
    print("一次同余式15x≡21(mod 9)的解为：")
    for n in range(-10, 10):
        x0 = b*n + x
        print(x0, end=', ')

如果我的回答解决了您的问题，请采纳！