首先是一阶微分方程，这个我通过引例能够大概理解后面加上的应该是△X的高阶无穷小，也知道应该是化曲为直所缺的距离，但二元微分方程，书上直接给的是p=根号下△x的平方+△Y的平方，我实在想不通，因为引例多的项是△x△y，也不明白为什么是上面那个式子的高阶无穷小，我也不想要什么chatgpt和感性认识的解答，就是想问问具体是怎么推出来的
该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
对于一元微分，我们可以使用一阶泰勒公式：
f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx + o(Δx)
·
其中o(Δx)表示Δx趋近于0时比Δx高阶的无穷小量，可以忽略。将Δx看成dx，则有：
f(x+dx) ≈ f(x) + f'(x)dx
这里的f'(x)就是函数f(x)在点x处的一阶导数。
·
对于二元微分，我们可以使用二元泰勒公式：
f(x+Δx, y+Δy) = f(x, y) + ∂f/∂xΔx + ∂f/∂yΔy + 1/2[∂²f/∂x²(Δx)² + 2∂²f/∂x∂y(Δx)(Δy) + ∂²f/∂y²(Δy)²] + o(Δx², Δy², ΔxΔy)
·
其中o(Δx², Δy², ΔxΔy)表示Δx和Δy趋近于0时比它们高阶的无穷小量，可以忽略。将Δx和Δy看成dx和dy，则有：
f(x+dx, y+dy) ≈ f(x, y) + ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + 1/2[∂²f/∂x²(dx)² + 2∂²f/∂x∂y(dx)(dy) + ∂²f/∂y²(dy)²]
这里的∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f(x,y)在点(x,y)处对x和y的一阶偏导数，∂²f/∂x²、∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y²分别表示函数f(x,y)在点(x,y)处对x的二阶偏导数、对x和y的混合二阶偏导数，以及对y的二阶偏导数。
·
将Δx和Δy看成高阶无穷小量，则p可以表示为：
p = √(dx² + dy²)
其中dx²和dy²可以看成高阶无穷小量，可以忽略。这样p就变成了dx和dy的一阶无穷小量。
·
因此，对于二元微分，我们可以使用二元泰勒公式，将函数f(x,y)在点(x,y)处展开成一阶、二阶、三阶甚至更高阶的形式，然后用一阶无穷小量表示微小增量，计算微分值和偏导数。
二阶是余项，几何意义就是求dy和dx的切线的向量。