matlab编程：已知圆的半径、圆心和圆外一点，求过圆外点关于圆的切线

matlab编程：已知圆的半径、圆心和圆外一点，求过圆外点画关于圆的切线。感谢各位大家的帮助

根据要求设计了代码：

% 输入圆的半径、圆心和圆外一点的坐标
r = input('圆的半径为：');
xc = input('圆心横坐标为：');
yc = input('圆心纵坐标为：');
xp = input('点的横坐标为：');
yp = input('点的纵坐标为：');


% 计算圆心到圆外点的距离
d = sqrt((xp - xc)^2 + (yp - yc)^2)
length = sqrt(d*d-r*r);

 
%点到圆心的单位向量
U.x=(xc-xp)/d;
U.y=(yc-yp)/d;
angle = asin(r/d);


Q1.x = U.x * cos(angle)  -  U.y * sin(angle);
Q1.y = U.x * sin(angle)  +  U.y * cos(angle);
Q2.x = U.x * cos(-angle) -  U.y * sin(-angle);
Q2.y = U.x * sin(-angle) +  U.y * cos(-angle);
% 
Q1.x = ( Q1.x ) * length+ xp;
Q1.y = ( Q1.y) * length + yp;
Q2.x = ( Q2.x ) * length+ xp;
Q2.y = ( Q2.y ) * length+ yp;
theta = 0:pi/100:2*pi;
x = r*cos(theta) + xc;
y = r*sin(theta) + yc;
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(xp, yp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
plot(Q1.x, Q1.y, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
plot(Q2.x, Q2.y, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);

line([xp,Q1.x],[yp,Q1.y])
line([xp,Q2.x],[yp,Q2.y])
 

结果为：

如果问题得到解决请点 采纳~~

“Devil组”引证GPT后的撰写：

% 输入圆的半径、圆心坐标、圆外一点坐标
r = input('请输入圆的半径：');
cx = input('请输入圆心的x坐标：');
cy = input('请输入圆心的y坐标：');
px = input('请输入圆外点的x坐标：');
py = input('请输入圆外点的y坐标：');

% 求圆心到圆外点的距离
d = sqrt((px-cx)^2 + (py-cy)^2);

% 判断圆外点是否在圆上
if d == r
    disp('圆外点在圆上，不存在切线');
elseif d < r
    disp('圆外点在圆内，不存在切线');
else
    % 求圆心到圆外点的方向向量
    dir_vec = [px-cx, py-cy];
    % 将方向向量归一化
    dir_vec = dir_vec / norm(dir_vec);
    % 求切点坐标
    tx = cx + r*dir_vec(1);
    ty = cy + r*dir_vec(2);
    % 求切线斜率
    k = -(tx-px)/(ty-py);
    % 求切线方程截距
    b = py - k*px;
    % 输出切线方程
    disp(['切线方程为 y = ' num2str(k) 'x + ' num2str(b)]);
end

输入圆的半径、圆心坐标、圆外一点坐标后，程序会先判断圆外点是否在圆上或圆内。如果在圆上，输出“圆外点在圆上，不存在切线”；如果在圆内，输出“圆外点在圆内，不存在切线”。如果在圆外，程序会先求圆心到圆外点的方向向量，然后将方向向量归一化，得到切线的方向。接着求切点坐标，利用切点坐标和圆外点坐标求出切线斜率和截距，最后输出切线方程。

参考https://blog.csdn.net/hekejun19861107/article/details/12944117

CPoint CalcQieDian(CPoint ptCenter, CPoint ptOutside, double dbRadious) 
{ 
    struct point {double x, y;};
 point E,F,G,H;
 double r=dbRadious;
 //1. 坐标平移到圆心ptCenter处,求园外点的新坐标E
 E.x= ptOutside.x-ptCenter.x;
 E.y= ptOutside.y-ptCenter.y; //平移变换到E
 
 //2. 求园与OE的交点坐标F, 相当于E的缩放变换
 double t= r / sqrt (E.x * E.x + E.y * E.y);  //得到缩放比例
 F.x= E.x * t;   F.y= E.y * t;   //缩放变换到F
 
 //3. 将E旋转变换角度a到切点G，其中cos(a)=r/OF=t, 所以a=arccos(t);
 double a=acos(t);   //得到旋转角度
 G.x=F.x*cos(a) -F.y*sin(a);
 G.y=F.x*sin(a) +F.y*cos(a);    //旋转变换到G
 
 //4. 将G平移到原来的坐标下得到新坐标H
 H.x=G.x+ptCenter.x;
 H.y=G.y+ptCenter.y;             //平移变换到H
    
 //5. 返回H
 return CPoint(int(H.x),int(H.y));
 //6. 实际应用过程中，只要一个中间变量E,其他F,G,H可以不用。
}

该回答引用ChatGPT

以下是MATLAB代码，可以求过圆外点画关于圆的切线：

% 输入圆心坐标和半径
center = [x0, y0];
radius = r;

% 输入圆外点坐标
point = [x, y];

% 计算圆心到圆外点的距离
distance = norm(point - center);

% 如果圆外点与圆心重合，则不存在切线
if distance == 0
    disp('The point is on the circle.');
    return;
end

% 计算切线的斜率
slope = -(point(1) - center(1)) / (point(2) - center(2));

% 计算切线的截距
intercept = point(2) - slope * point(1);

% 计算切线与圆的交点
% 通过解方程(x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2和y = slope*x + intercept得到交点
a = slope^2 + 1;
b = 2*slope*intercept - 2*x0 - 2*slope*y0;
c = x0^2 + intercept^2 + y0^2 - 2*intercept*y0 - r^2;
x_intersect = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c)) / (2*a);
y_intersect = slope * x_intersect + intercept;

% 画出圆和切线
hold on;
viscircles(center, radius);
plot([point(1), x_intersect], [point(2), y_intersect], 'r');
axis equal;
hold off;

其中，输入的变量为：

x0和y0是圆心坐标；
r是圆的半径；
x和y是圆外点坐标。
输出为画出的圆和切线。如果圆外点与圆心重合，则输出一条提示信息。

参考GPT的回答和自己的思路，以下是MATLAB的代码，可以找到过给定圆外一点的圆的切线：

% 输入圆的半径、圆心和圆外一点的坐标
r = input('请输入圆的半径：');
xc = input('请输入圆心的横坐标：');
yc = input('请输入圆心的纵坐标：');
xp = input('请输入圆外点的横坐标：');
yp = input('请输入圆外点的纵坐标：');

% 计算圆心到圆外点的距离
d = sqrt((xp - xc)^2 + (yp - yc)^2);

% 如果圆外点在圆心右侧，将圆半径变为负数
if xp > xc
    r = -r;
end

% 计算圆的切点坐标
xt = xc + r*(xp - xc)/d;
yt = yc + r*(yp - yc)/d;

% 计算切线斜率
slope = -(xt - xp)/(yt - yp);

% 画出圆和圆外点
theta = 0:pi/100:2*pi;
x = r*cos(theta) + xc;
y = r*sin(theta) + yc;
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(xp, yp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);

% 画出切线
xline(xt);
yline(yt);

输入半径、圆心和圆外点的坐标后，代码首先计算圆心到圆外点的距离，并检查圆外点是否在圆心的右侧。如果是，则将圆半径变为负数，以使计算切点时正确地选择切点。

然后，代码计算圆的切点坐标和切线斜率，并使用MATLAB的xline和yline函数画出切线。同时，还画出圆和圆外点，以使结果更加可视化。

回答不易，还请采纳！！！

看本贴下方CSDN自动推荐的内容

参考GPT和自己的思路，假设圆的半径为$r$，圆心坐标为$(x_0, y_0)$，圆外点坐标为$(x_1, y_1)$。我们需要求解过圆外点的关于圆的切线方程。

首先，我们可以求出圆心到圆外点的距离$d$，即：

$d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}$

如果$d > r$，那么圆外点在圆的外部，此时有且只有一条过圆外点的切线。如果$d = r$，那么圆外点在圆上，此时有且只有一条过圆外点的切线。如果$d < r$，那么圆外点在圆的内部，此时不存在过圆外点的切线。

假设圆外点在圆的外部或圆上，我们可以先求出圆心与圆外点连线的斜率$k$，即：

$k = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

然后，过圆外点的切线的斜率$k'$可以通过圆心与圆外点连线的垂线斜率$k_{\perp}$计算得到，即：

$k_{\perp} = -\frac{1}{k}$

因为过圆外点的切线与圆心与圆外点连线垂直，所以$k$和$k_{\perp}$的乘积为$-1$。

切线方程的截距$b$可以通过圆外点的坐标和切线的斜率$k'$计算得到，即：

$b = y_1 - k'x_1$

因此，切线方程为：

$y = k'x + b$

现在，我们来写一个MATLAB函数，输入圆的半径、圆心坐标和圆外点坐标，输出过圆外点的切线方程：

function [k, k_perp, b] = tangent_line(r, x0, y0, x1, y1)
    % 计算圆心到圆外点的距离
    d = sqrt((x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2);
    if d > r % 圆外点在圆的外部
        % 计算圆心与圆外点连线的斜率
        k = (y1 - y0) / (x1 - x0);
        % 计算过圆外点的切线的斜率和截距
        k_perp = -1 / k;
        b = y1 - k_perp * x1;
    elseif d == r % 圆外点在圆上
        % 在圆上不存在切线
        k = NaN;
        k_perp = NaN;
        b = NaN;
    else % 圆外点在圆的内部
        % 在圆内不存在切线
        k = NaN;
        k_perp = NaN;
        b = NaN;
    end
end

你可以将这个代码保存为一个.m文件，然后在MATLAB命令窗口中调用该函数来计算过圆外点的切线方程。例如，假设圆的半径为2，圆心坐标为(0,0)，圆外点坐标为(4,3)，则可以执行以下命令：

[k, k_perp, b] = tangent_line(2, 0, 0, 4, 3)

这将输出过圆外点的切线方程$y = -\frac{4}{3}x + \frac{19}{3}$的斜率$k'$和截距$b$，以及圆心与圆外点连线的斜率$k$和垂线斜率$k_{\perp}$。

• 参考GPT的内容和自己的思路:

• 假设圆心坐标为$(x_c,y_c)$，圆的半径为$r$，圆外一点坐标为$(x_0,y_0)$，现在需要求出过圆外点$(x_0,y_0)$且与圆相切的切线方程。

• 求解思路如下：

1.求出圆心到圆外点的距离$d$。

2.判断圆外点是否在圆上，如果在圆上则不存在切线。

3.求出圆心与圆外点之间的连线与切线的夹角$\theta$。

4.根据切线的性质，切线的斜率$k$等于$\tan\theta$，可以根据这个斜率和圆外点的坐标求出切线的方程。

• 下面是MATLAB代码实现：

% 已知圆的半径、圆心和圆外一点，求过圆外点画关于圆的切线

% 圆心坐标
xc = 0;
yc = 0;
% 圆的半径
r = 5;
% 圆外一点坐标
x0 = 10;
y0 = 5;

% 1. 求出圆心到圆外点的距离
d = sqrt((x0 - xc)^2 + (y0 - yc)^2);

% 2. 判断圆外点是否在圆上
if abs(d - r) < eps  % eps是MATLAB中的极小值，用于比较浮点数相等性
    disp('圆外点在圆上，不存在切线');
else
    % 3. 求出圆心与圆外点之间的连线与切线的夹角theta
    theta = acosd(r/d);
    
    % 4. 根据切线的性质，切线的斜率k等于tan(theta)
    k = tand(theta);
    
    % 求出切线的截距
    b = y0 - k*x0;
    
    % 绘制圆和圆外点
    t = linspace(0, 2*pi, 100);
    x = r*cos(t) + xc;
    y = r*sin(t) + yc;
    plot(x, y, 'LineWidth', 2);
    hold on;
    plot(x0, y0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
    
    % 绘制切线
    xlim([xc-r-2, xc+r+2]);  % 设置横坐标范围
    ylim([yc-r-2, yc+r+2]);  % 设置纵坐标范围
    xline(x0, 'LineWidth', 2);  % 绘制x轴上的直线
    fplot(@(x) k*x+b, xlim, 'LineWidth', 2);  % 绘制切线
    legend('圆', '圆外点', '切线');
end

• 这段 MATLAB 代码可以画出一个以坐标原点为圆心，半径为 5 的圆和一个在 (10, 5) 处的圆外点，并通过求解得到关于圆的切线。切线与圆的交点即为切点。

• 具体来说，如果圆外点不在圆上，则程序会先求出圆心到圆外点的距离，然后根据三角函数求解出切线与连线的夹角 theta。接着根据切线的斜率公式 k = tan(theta)，以及切线经过的一点，即圆外点 (x0, y0)，求解出切线的截距 b。最后通过 xline 和 fplot 函数分别画出 x 轴上的直线和切线，并通过 legend 函数标出图例。

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ

下面ATLAB 代码示例：

% 已知圆的半径 r，圆心 O 和圆外点 C
r = 1;
O = [0, 0];
C = [2, 1];

% 计算向量 OC 和单位向量 n
OC = C - O;
n = OC / norm(OC);

% 计算向量 u 和向量 OT
u = [0, -1; 1, 0] * n';
OT = r * u;

% 计算切线方向向量 d
d = OT;

% 求解切线方程
syms x y
eqn = dot([x, y] - O, d) == 0;
sol = solve(eqn, y);

% 绘制圆和切线
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
x = r * cos(theta) + O(1);
y = r * sin(theta) + O(2);
plot(x, y);
hold on;
plot(C(1), C(2), 'ro');
xlim([O(1)-r-1, O(1)+r+1]);
ylim([O(2)-r-1, O(2)+r+1]);
axis equal;
grid on;
plot([C(1), C(1)+d(1)], [C(2), C(2)+d(2)], 'r--');

其中，r、O 和 C 分别表示圆的半径、圆心和切点坐标，P 表示圆外一点的坐标，N 表示切线上的一点，$\vec{OC}$ 和 $\vec{OP}$ 分别表示圆心到切点和圆心到圆外点的向量。

可以按照以下步骤来求解过圆外点 P 画关于圆的切线：1.计算向量 $\vec{OP}$ 的长度，记为 $d$。

2.计算向量 $\vec{OP}$ 的方向向量 $\vec{u}$，即：

3.计算向量 $\vec{OC}$ 的长度，记为 $r$。

4.计算向量 $\vec{OC}$ 在向量 $\vec{u}$ 方向上的投影长度 $p$，即：

5.计算向量 $\vec{ON}$ 的长度，记为 $h$，由勾股定理可得：

6.计算切点坐标 $C$，即：

7.根据切点坐标 $C$ 和圆心 $O$ 可以得到切线方程：

注意，如果圆外点 $P$ 在圆上，则没有切线。

算法思路：

计算圆心和圆外点的距离，如果距离小于圆的半径，则该点在圆内，不存在切线。

计算圆心和圆外点的连线与圆的切点坐标，切点坐标可以通过向量运算得出。

计算切线的斜率，斜率等于切点坐标与圆心坐标的连线斜率。

根据斜率和切点坐标，求出切线的方程。

解决如下

圆的方程式

要解决这个问题，我们首先需要了解圆的方程式。在Matlab中，我们可以使用以下方程式来表示圆：

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

其中，(a,b)是圆心的坐标，r是半径。利用这个方程式，我们可以求出圆与任意一点的距离，从而得到圆的方程式。

切线的方程式

接下来，我们需要了解切线的方程式。在几何学中，我们知道切线的斜率等于圆的切点处切线的切线。因此，我们可以使用以下方程式来表示切线：

y = mx + c

其中，m是切线的斜率，c是切线的截距。我们可以使用已知点和斜率来计算切线的方程式。

解决问题

现在，我们可以开始解决这个问题了。假设我们已知圆的半径、圆心和圆外一点的坐标，我们可以使用以下步骤来求出关于圆的切线：

1. 计算圆心与圆外点之间的距离。
2. 计算圆的方程式。
3. 计算切线的斜率。
4. 使用已知点和斜率计算切线的方程式。

下面的Matlab代码演示了如何实现这些步骤：

% 输入圆的半径、圆心和圆外点的坐标
r = 5;
a = 2;
b = 3;
x0 = 8;
y0 = 9;

% 计算圆的方程式
syms x y
f = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^2;

% 计算圆心与圆外点之间的距离
d = sqrt((x0-a)^2 + (y0-b)^2);

% 计算切线的斜率
m = -(x0-a)/(y0-b);

% 使用已知点和斜率计算切线的方程式
c = y0 - m*x0;
g = m*x + c;

% 画出圆和切线
ezplot(f);
hold on;
ezplot(g);
axis equal;

在这个示例中，我们使用了Matlab的符号计算工具箱来计算圆的方程式。然后，我们计算圆心与圆外点之间的距离，以便计算切线的斜率。最后，我们使用已知点和斜率来计算切线的方程式，并使用Matlab的ezplot函数绘制圆和切线。