关于n的递推公式的证明(语言-matlab)

运行不出来 不知道怎么修改

function [I] = f4(n)
a = 0;
b = 1;
syms x;
fun = x^n * exp(x-1);
I = int(fun,a,b);
if f4(n-1) == (1 - f4(n)) / n
    disp(I);
elseif disp('false')
end

“Devil组”引证GPT后的撰写：

function [I] = calculate_I(n)
I = zeros(1,n);
I(1) = 1 - exp(-1);
for i = 2:n
I(i) = (1 - exp(-1)) / i + I(i-1);
end
disp(I);
end

参考GPT的内容和自己的思路，以下是 MATLAB 代码实现：

function [I] = recursive_I(n)
    if n == 0
        I = 1 - exp(-1);
    else
        I_prev = recursive_I(n-1);
        I = 1 - n*log(1 + I_prev);
    end
end

代码中，使用了递归的方式计算递推公式，其中 I_prev 是上一项的计算结果。当 n=0 时，直接根据公式计算出 Io 的值。当 n>0 时，先计算出 In-1 的值，再带入公式计算出 In 的值。

回答不易，还请采纳！！！

参考GPT和自己的思路，这段 MATLAB 代码有一些问题。首先，您需要在函数的开头添加输入参数 n，例如：

function [I] = f4(n)

然后，当 n 为 0 时，无法递归计算，因此需要添加一个特殊的情况：

if n == 0
    I = exp(-1);
    return
end

接下来，您需要在递归调用之前计算前面的积分，否则会出现无限递归的情况。可以将递归调用的结果存储在一个变量中，例如 fn1，然后使用该变量计算当前的积分，如下所示：

fn1 = f4(n-1);
I = (1 - fn1) / n;
a = 0;
b = 1;
fun = x^n * exp(x-1);
I = I + int(fun, a, b);

最后，您可以在函数的结尾处添加 disp(I) 以打印结果，如下所示：

disp(I)

整个函数的完整代码如下：

function [I] = f4(n)
if n == 0
    I = exp(-1);
    return
end
fn1 = f4(n-1);
I = (1 - fn1) / n;
a = 0;
b = 1;
fun = x^n * exp(x-1);
I = I + int(fun, a, b);
disp(I)
end

希望这可以帮助您解决问题。

以下答案由GPT-3.5大模型与博主波罗歌共同编写：
这里提供一个修改过的 MATLAB 代码，并解释一下递推公式的证明过程。

首先，我们先来从数学上推导出递推公式。

$$
I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{x-1} dx
$$

可以使用分部积分法来求解：

$$
\begin{aligned}
u&=x^n, & v&=e^{x-1} \
du&=nx^{n-1}dx, & dv&=e^{x-1}dx
\end{aligned}
$$

则：

$$
\begin{aligned}
I_n &= \left.x^n e^{x-1}\right]{0}^{1} - n\int{0}^{1}x^{n-1}e^{x-1}dx \
&= e^{1-1} - n\int_{0}^{1}x^{n-1}e^{x-1}dx \
&= 1 - nI_{n-1}
\end{aligned}
$$

所以，得出递推公式为：

$$
I_n = 1 - nI_{n-1}
$$

接下来是运行修改后的 MATLAB 代码：

function [I] = integral_recurrence(n)
if n == 0
    I = exp(-1);
else
    I = 1 - n*integral_recurrence(n-1);
end
end

其中，integral_recurrence(n) 函数用来计算 $I_n$，若 $n=0$，则 $I_n=e^{-1}$。

如果你想输出 $I_n$ 的值，只需调用 integral_recurrence(n) 函数即可。
如果我的回答解决了您的问题，请采纳！