如果按层次顺序从１开始对全部结点编号

A (n-1)%k==0 B (n-1)%k!=0 C n%k==0 D n%k!=0
答案选择B选项，可以解释以下吗

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
根据题目描述，有一个完全二叉树，节点编号从 1 开始，假设该树有 k 层，则根节点到第 k 层共有 1+2+...+2^(k-1) = 2^k-1 个节点，即编号范围为 [1, 2^k-1]。

对于节点 n，它的父节点编号为 (n-1)/2（向下取整），左右子节点分别为 2n+1 和 2n+2。

现在考虑选项 B，即 (n-1)%k!=0。可以将所有满足该条件的节点按照编号从小到大排列，记第 i 个节点的编号为 n_i，则有：

(n_i - 1) % k != 0

即

n_i != 1 + k * m_i，其中 m_i 为整数

我们需要证明，对于任意一个整数 j，都存在一个满足条件的节点 n_i，使得 n_i 的编号为 j。

考虑令 m_i = j/k，如果 j 是 k 的倍数，则令 m_i = j/k + 1。此时，

n_i = 1 + k * m_i = j + k 或 j + 2k

不难验证，这两个节点都满足条件 (n_i - 1) % k != 0。

因此，我们可以通过编号为 (n-1)%k!=0 的节点来覆盖整个编号区间 [1, 2^k-1]，即每个编号都可以被一个满足条件的节点所覆盖，因此选项 B 是正确的。

其他选项的解释如下：

选项 A：根据上述推导，编号为 1 的节点无法满足条件 (n-1)%k!=0，因此选项 A 不成立。
选项 C：根据上述推导，编号为 2^k-1 的节点无法满足条件 n%k==0，因此选项 C 不成立。
选项 D：根据上述推导，除了编号为 1 的节点外，其他节点都满足条件 n%k!=0，因此选项 D 不成立。