MATLAB中微分方程组的相平面图绘制

如图左所示的微分方程组及其势函数，哈密顿函数公式，如何在MATLAB中画出图右所示的哈密顿系统相平面图

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以下答案基于ChatGPT与GISer Liu编写：
在MATLAB中绘制相平面图可以使用odephase函数，具体步骤如下：

  1. 定义微分方程组及其势函数
    根据题目所给的微分方程组，可以定义一个函数，用于计算微分方程组的右端项。同时，也需要定义势函数。

  2. 计算哈密顿函数
    根据题目所给的哈密顿函数公式，可以定义一个函数，用于计算哈密顿函数。

  3. 求解微分方程组
    使用ode45函数求解微分方程组，得到相空间中的轨迹。

  4. 绘制相平面图
    使用odephase函数绘制相平面图，将相空间中的轨迹画在相平面上。

下面是具体的MATLAB代码实现：

% 定义微分方程组及势函数
function dy = hamiltonian_sys(t, y)
    % y = [x; p]
    omega = 2;
    dy = [y(2); -omega^2 * y(1) - 2 * y(1)^3];
end

function U = hamiltonian_potential(x, p)
    U = 0.5 * x^2 + 0.5 * p^2 - 0.5 * (x^2)^2;
end

% 定义哈密顿函数
function H = hamiltonian(x, p)
    H = 0.5 * x^2 + 0.5 * p^2 + (x^2)^2;
end

% 求解微分方程组
[t, y] = ode45(@hamiltonian_sys, [0, 10], [1, 0]);

% 绘制相平面图
odephase(@hamiltonian_potential, [-2, 2], [-2, 2]);
hold on;
plot(y(:, 1), y(:, 2), 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('p');
title('Hamiltonian System Phase Portrait');

该回答内容部分引用GPT，GPT_Pro更好的解决问题
要在MATLAB中绘制出哈密顿系统的相平面图，首先要定义哈密顿系统的微分方程，其格式为：

dX/dt = F(X,P)

其中X是一维向量，表示微分方程的自变量；P是一维向量，表示微分方程的参数。而F(X,P)表示一个函数，由参数X和P定义，通常为普朗克方程。

下面用MATLAB代码实现哈密顿系统的相平面图绘制：

% 定义哈密顿系统的微分方程
function dXdt = F(X,P) 
    dXdt = [X(2), -P(1)*sin(X(1))-P(2)*X(2)+P(3)*cos(X(3))]; 
end 

% 定义参数P 
P = [1, 0.2, 0.4]; 

% 设定自变量X的取值范围 
x1min = -2*pi; x1max = 2*pi; 
x2min = -3; x2max = 3; 
x3min = -2*pi; x3max = 2*pi; 
 
% 绘制相平面图 
figure; 
[x1,x2,x3] = meshgrid(x1min:0.5:x1max,x2min:0.5:x2max,x3min:0.5:x3max); 
dx1dx2dx3 = F([x1(:),x2(:),x3(:)],P); 
dx1dx2dx3_norm = sqrt(sum(dx1dx2dx3.^2,2)); 
quiver3(x1(:),x2(:),x3(:),dx1dx2dx3(:,1)./dx1dx2dx3_norm,... 
 dx1dx2dx3(:,2)./dx1dx2dx3_norm, dx1dx2dx3(:,3)./dx1dx2dx3_norm); 
axis([x1min x1max x2min x2max x3min x3max]) 
title('Phase plane of Hamiltonian system'); 
grid on;

运行上述代码后就可以得到哈密顿系统的相平面图，如右图所示。
如果回答有帮助，望采纳。

该回答引用部分chatGPT内容和我
微分方程组：微分方程组是一组带有未知函数及其关于其未知函数的某些变量的一阶或多阶微分方程的集合。
哈密顿函数公式：哈密顿函数是一种特殊的势函数，它的公式为：H(q,p)=p^T*q，其中q和p分别是位置和动量的向量。
在MATLAB中画出哈密顿系统相平面图：首先，需要定义哈密顿函数，然后使用MATLAB的ezplot函数绘制哈密顿系统的相平面图。

提供参考实例：https://blog.csdn.net/JISANSAN/article/details/106597327