设G＝｛A∈Mn(Z)I IAI＝1或IAI＝-1｝，其中Mn(Z)是指由元素皆为整数的所有n阶矩阵构成的集合
一，证明集合G关于矩阵的乘法构成一个群
二，设GLn(R)＝｛A∈Mn(R)I IAI≠0｝为一般线性群，在GLn(R)上定义一个关系w如下，对GLn(R)中任意两个矩阵A和B，如果A (B-1)∈G，那么称A和N满足关系w，记作AwB，证明，关系w是等价关系
参考GPT和自己的思路，一、要证明集合G关于矩阵的乘法构成一个群，需要满足以下四个条件：
1 闭合性：对于G中的任意两个元素A和B，它们的积AB仍然属于G。
2 结合律：对于G中的任意三个元素A、B和C，满足(A B)C=A (BC)。
3 单位元：存在一个单位元I，使得对于G中的任意元素A，都有AI=IA=A。
4 逆元：对于G中的任意元素A，存在一个逆元A'，使得AA'=A'A=I。
我们逐一证明这四个条件：
1 对于任意两个元素A和B，由于IA=AI=A和IB=BI=B，所以IA(IB)=A(BI)=AB，因此AB∈G，G对于矩阵的乘法是闭合的。
2 对于任意三个元素A、B和C，由于G中的元素满足IA=AI=A和IB=BI=B和IC=CI=C，所以((AB)C)D=(AB)(CD)=A(BC)D=A(B(CD))=A(BD)，因此G对于矩阵的乘法是结合的。
3 存在一个单位元I，使得对于G中的任意元素A，都有AI=IA=A。当A的行列式为1时，A即为行列式为1的n阶矩阵，此时有AI=IA=A。
4 对于任意元素A，由于G中的元素满足IA=AI=A和IA=-A，因此A的行列式只可能是1或-1。当A的行列式为1时，A即为行列式为1的n阶矩阵，此时存在一个逆元A'，使得AA'=A'A=I。当A的行列式为-1时，A不属于G，因此不考虑该情况。
综上所述，集合G关于矩阵的乘法构成一个群。
二、要证明关系w是等价关系，需要满足以下三个条件：
1 自反性：对于GLn(R)中的任意矩阵A，都有A w A。
2 对称性：对于GLn(R)中的任意矩阵A和B，如果A w B，则B w A。
3 传递性：对于GLn(R)中的任意矩阵A、B和C，如果A w B且B w C，则A w C。
我们逐一证明这三个条件：
1 对于GLn(R)中的任意矩阵A，有AI=IA=A和A(A-1)=I，因此A(A-1)A=A，即AA=A(A-1)A属于G。因此A w A，关系w具有自反性。
2 对于GLn(R)中的任意矩阵A和B，如果A w B，则存在矩阵C，使得AC=B，即A(B-1)=C属于G。则有B(A-1)=(A(B-1))(-1)属于G，因此B w A，关系w具有对称性。
3 对于GLn(R)中的任意矩阵A、B和C，如果A w B且B w C，则存在矩阵D和E，使得AD=B，BE=C，即A(B-1)=D属于G和B(C-1)=E属于G。则有A(C-1)=(A(B-1))(B(C-1))属于G，因此A w C，关系w具有传递性。
综上所述，关系w是等价关系。
一、要证明G是一个群，需要满足以下四个条件：
封闭性：对于任意的A、B∈G，有AB∈G。
结合律：对于任意的A、B、C∈G，有(A B)C=A(B C)。
单位元：存在单位元e∈G，使得对于任意的A∈G，有A e=e A=A。
逆元：对于任意的A∈G，存在逆元A-1∈G，使得AA-1=A-1A=e。
证明：
对于任意的A、B∈G，有IAI=1或IAI=-1，IBI=1或IBI=-1。如果IAI=IBI=1，则AB的元素都是整数，因此AB∈Mn(Z)。如果IAI=-1，IBI=1，则(AB)(AB)T=AB(BTAT)BTA，因为BTAT∈Mn(Z)，所以AB∈Mn(Z)。同理，如果IAI=1，IBI=-1，则AB∈Mn(Z)。因此，AB∈G，G对于乘法封闭。
对于任意的A、B、C∈G，(AB)C的元素为(AB)Cij=∑k(AikBkj)Cjk，而A(B C)的元素为A(B C)ij=∑kAij(B C)kj=∑kAij∑lBlkCklj=∑l∑kAijBlkCklj。由于整数的乘积和加和仍然是整数，所以(AB)C和A(B C)都属于Mn(Z)。因此，(AB)C和A(B C)都属于G，并且满足结合律。
如果A∈G且IAI=1，则存在单位矩阵I∈Mn(Z)，使得AI=IA=A。同理，如果IAI=-1，则存在矩阵B=diag(-1,1,1,...,1)∈Mn(Z)，使得AB=BA=A。因此，单位元e可以为I或B，都属于G。
对于任意的A∈G，如果IAI=1，则有A-1=A，因为AA=I，所以A的逆元是A本身。如果IAI=-1，则有A-1=-A，因为AA=-I，所以-A也属于G且是A的逆元。因此，G中的每个元素都有逆元。
因此，集合G关于矩阵乘法构成一个群。
二 、要证明关系w是等价关系，需要证明它满足自反性、对称性和传递性。
首先证明自反性，即对于任意的矩阵A∈GLn(R)，有AwA。由于A(A-1)=I，其中I是单位矩阵，且IAI=1，因此A(A-1)∈G，即AwA。因此，关系w是自反的。
其次证明对称性，即对于任意的矩阵A,B∈GLn(R)，如果AwB，则BwA。由于A(B-1)∈G，则存在一个整数k，使得det(A(B-1))^k=±1。因此，det(B-1)^k=det(A-1)^k，且det(B-1)≠0，因此det(A-1)≠0。由此可知B∈GLn(R)，且(A-1)B∈G。因此，BwA。因此，关系w是对称的。
最后证明传递性，即对于任意的矩阵A,B,C∈GLn(R)，如果AwB且BwC，则AwC。由于A(B-1)∈G且B(C-1)∈G，则存在整数k1,k2，使得det(A(B-1))^{k1}=±1，det(B(C-1))^{k2}=±1。因此，
det(A(C-1))^{k1k2}=det(A(B-1)(B(C-1)))^{k1k2}=det(A(B-1)B(C-1)(B-1))^{k1k2}
因此，det(C-1)^{k1k2}=det(A-1)^{k1k2}，且det(C-1)≠0，因此det(A-1)≠0。因此，C∈GLn(R)，且(A-1)C∈G。因此，AwC。因此，关系w是传递的。
综上所述，关系w是等价关系。
一、首先证明G是一个非空集合：
对于n阶单位矩阵E，有IAI = 1，因此E ∈ G。
然后证明G是封闭的：
对于任意的A, B ∈ G，有IAI = ±1，IBI = ±1。
若IA = 1，IB = 1，则
IA(BA-1)I = (IA)(BA-1)(IA)-1 = BA-1 ∈ G。
若IA = 1，IB = -1，则
IA(BA-1)I = -(IA)(BA-1)(IA)-1 = -BA-1 ∈ G。
若IA = -1，IB = 1，则
IA(BA-1)I = -(IA)(BA-1)(IA)-1 = -BA-1 ∈ G。
若IA = -1，IB = -1，则
IA(BA-1)I = (IA)(BA-1)(IA)-1 = BA-1 ∈ G。
因此，G是封闭的。
接着证明G中存在逆元素：
对于任意的A ∈ G，有IAI = ±1。
若IA = 1，则
AA-1 = A-1A = E，因此A-1 ∈ G。
若IA = -1，则
AA = -A(-A) = (-A)A，因此(-A) ∈ G。
因此，G中任意元素都存在逆元素。
最后证明G满足结合律：
对于任意的A, B, C ∈ G，有IAI = ±1，IBI = ±1，ICI = ±1。
若IA = 1，IB = 1，IC = 1，则
A(BC) = (AB)C。
若IA = 1，IB = 1，IC = -1，则
A(BC) = -(AB)C。
若IA = 1，IB = -1，IC = 1，则
A(BC) = (A(-B))(-C) = (-A)(-B)(-C) = (-A)(-BC)。
若IA = 1，IB = -1，IC = -1，则
A(BC) = -(A(-B))(-C) = (-A)(-B)C = (-A)(-BC)。
若IA = -1，IB = 1，IC = 1，则
A(BC) = (A(-B))(-C) = (-A)BC = (-AB)C。
若IA = -1，IB = 1，IC = -1，则
A(BC) = -(A(-B))(-C) = (-A)B(-C) = (-AB)C。
若IA = -1，IB = -1，IC = 1，则
A(BC) = -(A(-B))(-C) = (A)(-B)(-C) = A(-BC)。
若IA = -1，IB = -1，IC = -1，则
A(BC) = (A(-B))C = (-A)BC = (-A)(-B)(-C) = (-A)(-BC)。
因此，G满足结合律。
综上所述，G是一个群。
二、首先证明关系w是自反的：
对于任意的A ∈ GLn(R)，由于EA-1 = A-1 ∈ G，因此A w A。
其次证明关系w是对称的：
对于任意的A, B ∈ GLn(R)，如果A w B，则A(B-1) ∈ G。
由于G是一个群，因此存在G中的元素C，使得C(A(B-1)) = E。
则有(BA-1) = (A-1C)-1 ∈ G。
因此，B w A。
最后证明关系w是传递的：
对于任意的A, B, C ∈ GLn(R)，如果A w B，B w C，则有A(B-1), B(C-1) ∈ G。
由于G是一个群，因此存在G中的元素D，使得D(A(B-1)) = E，D(B(C-1)) = E。
则有D(A(C-1)) = D(A(B-1))(D(B(C-1))) = E。
因此，A w C。
综上所述，关系w是自反的、对称的和传递的，因此是一个等价关系。
该回答引用ChatGPT
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一、证明集合G关于矩阵的乘法构成一个群
为证明集合G关于矩阵的乘法构成一个群，需要验证以下四个条件：
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1、闭合性：对于任意的A、B∈G，都有AB∈G。
对于任意的A、B∈G，有IAI=1或IAI=-1，IBI=1或IBI=-1。考虑AB的范数，有
∥AB∥=∥A∥∥B∥，其中∥A∥和∥B∥分别表示A和B的范数。
如果IAI=IBI=1，则∥AB∥=∥A∥∥B∥≥1，即AB∈G；
如果IAI=IBI=-1，则∥AB∥=∥A∥∥B∥≥1，即AB∈G。
因此，对于任意的A、B∈G，都有AB∈G，闭合性成立。
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2、结合律：对于任意的A、B、C∈G，都有(AB)C=A(BC)。
对于任意的A、B、C∈G，有IAI=IBI=ICI=1或IAI=IBI=ICI=-1。考虑(AB)C和A(BC)的范数，有
∥(AB)C∥=∥AB∥∥C∥=∥A∥∥B∥∥C∥，
∥A(BC)∥=∥A∥∥BC∥=∥A∥∥B∥∥C∥，
由于范数满足结合律，因此∥(AB)C∥=∥A(BC)∥，即(AB)C=A(BC)。
因此，对于任意的A、B、C∈G，都有(AB)C=A(BC)，结合律成立。
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3、单位元存在性：存在一个矩阵E∈G，对于任意的A∈G，有AE=EA=A。
设E是单位矩阵，则IE=EI=E，因此E∈G。对于任意的A∈G，有IAI=1或IAI=-1，考虑AE和EA的范数，有
∥AE∥=∥A∥∥E∥=∥A∥，
∥EA∥=∥E∥∥A∥=∥A∥，
由于IAI=1或IAI=-1，因此∥A∥≥1，即∥AE∥≥1、∥EA∥≥1。又因为IAI=1或IAI=-1，因此∥A∥≤1，即∥AE∥≤1、∥EA∥≤1。因此，∥AE∥=∥A∥=∥EA∥，即AE=EA=A。
因此，存在一个矩阵E∈G，对于任意的A∈G，有AE=EA=A，单位元存在。
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4、逆元存在性：对于任意的A∈G，存在一个矩阵B∈G，使得AB=BA=E。
设A是一个矩阵，如果IAI=1，则将A除以其行列式，即可得到一个行列式为±1的矩阵。因此，不妨假设IAI=-1，即A是一个行列式为-1的矩阵。考虑矩阵A的伴随矩阵adj(A)，则有AAadj(A)=adj(A)A=det(A)I=-I，其中I是单位矩阵。因此，A和adj(A)互为逆矩阵，即Aadj(A)=adj(A)A=I。
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由于A和adj(A)的所有元素都是整数，因此adj(A)也是一个整数矩阵。又因为IAI=-1，因此det(A)=-1，根据伴随矩阵的定义可知，adj(A)中所有元素的符号与其位置的奇偶性有关。因此，如果将adj(A)中所有奇数行或奇数列的符号取反，就可以得到一个新的矩阵B，使得AB=BA=I，且B也满足IAI=-1，因此B∈G，逆元存在。
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综上所述，集合G关于矩阵的乘法构成一个群。
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二、证明关系w是等价关系
为证明关系w是等价关系，需要验证以下三个条件：
1、自反性：对于任意的A∈GLn(R)，都有A w A。
由于G是矩阵乘法下的群，因此对于任意的A∈GLn(R)，都有A(A-1)=I∈G，即A w A，自反性成立。
2、对称性：对于任意的A、B∈GLn(R)，如果A w B，则B w A。
如果A w B，则A(B-1)∈G，因此(B-1)A∈G。又因为G是矩阵乘法下的群，因此(B-1)A((B-1)A)-1=I∈G，即(B-1)A w B-1(B-1)A-1=A w B，对称性成立。
3、传递性：对于任意的A、B、C∈GLn(R)，如果A w B且B w C，则A w C。
如果A w B，则A(B-1)∈G，如果B w C，则B(C-1)∈G，因此A(B-1)(C-1)=(AB-1)(C-1)∈G，因此A w C，传递性成立。
综上所述，关系w是等价关系。