(m+2022)/(m²+2022) 可约简为埃及分数，​求m的自然数解。 ​

如标题：
(m+2022)/(m²+2022) 可约简为埃及分数，​求m的自然数解。 ​

2023-01-08
解释一下，可约简为埃及分数，就是约分后分母是1。

解决步骤：

• 找到分数的分母（即m²+2022）的最大公因数（即gcd(m²+2022, m+2022)）。
• 将分数的分子和分母都除以分母的最大公因数。
• 将分子和分母的商放入埃及分数的形式中，即(分子商 + 分母商/分母商)。

下面是使用python实现这些步骤的示例代码：

def egyptian_fraction(n, d):
    # 计算最大公因数
    gcd = math.gcd(n, d)
    # 约分
    n = n // gcd
    d = d // gcd
    # 返回埃及分数形式
    return f"{n} + 1/{d}"

# 测试示例
print(egyptian_fraction(m + 2022, m**2 + 2022))

要求m的自然数解，可以枚举m的值，然后判断是否符合条件。

for m in range(1, 1000):
    fraction = egyptian_fraction(m + 2022, m**2 + 2022)
    if fraction == "(m+2022)/(m²+2022)":
        print(m)

即可找到所有符合条件的m的值了。

首先，我们可以将式子 $(m+2022)/(m?+2022)$ 化简为 $\frac{m+2022}{m?+2022}$。然后我们可以使用埃及分数的形式来表示这个分数，即 $\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{1}{1+\frac{b-a}{a}}=1-\frac{b-a}{ab}$。

因此，我们可以得到：

$$\frac{m+2022}{m?+2022}=1-\frac{m?-m}{m(m?+2022)}$$

令 $x=m?-m$，则有：

$$1-\frac{x}{m(m?+2022)}=\frac{m+2022}{m?+2022}$$

$$x=m(m?+2022)\left(1-\frac{m+2022}{m?+2022}\right)$$

$$x=m(m?+2022)-(m+2022)$$

$$x=m^2+2020m-2022$$

设 $y=2020-m$，则有：

$$x=y^2-4y$$

所以 $y$ 是 $x$ 的完全平方数。而 $x=m?-m$，所以 $x$ 也是一个完全平方数。因此，$y$ 也是一个完全平方数。

所以 $y$ 可以取到的值为 $0,1,4,9,16,...$。由于 $y=2020-m$，所以 $m$ 可以取到的自然数解为 $2020,2019,2016,2007,...$。

答案就是这些数。希望这对你有帮助。宝贝家人