如何证明离散点集的正交性

问题遇到的现象和发生背景

傅里叶变换，如何证明离散点集的正交性，有没有证明过程或者在那本书里面有具体证明过程？
cos(kx),cos(lx),sin(mx),cos(nx)的正交性很好证明。离散点的正交性如何证明。因为这个是离散傅里叶变换的本质，所以一直想要证明过程。图片中(2m+1)/2 的等式如何证明的。

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我的解答思路和尝试过的方法

我想要达到的结果

最关键的就是如何证明等于零，感觉等与零，一直没有严格的证明过程。想到把三角函数转化成e为底的复变函数就很简单了，在空间上是一个绕圆一周的向量。自己解决了，把过程写下来，供大家参考吧

我猜是这样：
由cos(nx+kx)=cosnxcoskx-sinnxsinkx①
及cos(nx-kx)=cosnxcoskx+sinnxsinkx②
①+②得cos(nx+kx)+cos(nx-kx)=2cosnxcoskx
所以　cosnxcoskx=1/2[cos(nx+kx)+cos(nx-kx)]

前提是j从0到2m取了cos2lxj的整周期