Hilbert空间上有界线性算子伴随的伴随等于它本身吗

两个希尔伯特空间上的有界线性算子的伴随的伴随是否等于它本身？
当两个希尔伯特空间相等时命题成立，不相等时呢？
如果不能成立，已知算子值域有限维为n，如何证明它的伴随算子值域维数也为n？